Урок 24. Тестовые задания (40 вопросов)

10.10.2026 - Яна -

Математика
ЕГЭ
Профиль
Тесты

40 заданий: 36 по теме «Рациональные неравенства: полное решение» и 4 на повторение. Задания 1-20: начальный уровень, 21-35: средний, 36-40: повышенный уровень. Решения открываются отдельно под каждым заданием.

Содержание теста

01. Начальный уровень: задания 1-20

02. Средний уровень: задания 21-35

03. Повышенный уровень: задания 36-40

Теория PDF Задания PDF Ответы и решения PDF

01. Начальный уровень: задания 1-20

Задание 1

Решите неравенство $(x - 2)(x + 3) \geq 0$ .

Ответ и решение к заданию 1

1. Нули числителя и точки разрыва дают критические значения: $- 3,2$ .

2. Расставляем знаки: $( - \infty; - 3)$ : +; $( - 3;2)$ : -; $(2; + \infty)$ : +.

3. Выбираем промежутки, где выражение удовлетворяет знаку $\geq 0$ ; нули числителя включаем, точки разрыва не включаем.

4. Получаем $\left( - \infty; - 3\rbrack \cup \lbrack 2; + \infty \right)$ .

Ответ

$\left( - \infty; - 3\rbrack \cup \lbrack 2; + \infty \right)$

Задание 2

Решите неравенство $(x - 5)(x + 1) \leq 0$ .

Ответ и решение к заданию 2

1. Нули числителя и точки разрыва дают критические значения: $- 1,5$ .

2. Расставляем знаки: $( - \infty; - 1)$ : +; $( - 1;5)$ : -; $(5; + \infty)$ : +.

3. Выбираем промежутки, где выражение удовлетворяет знаку $\leq 0$ ; нули числителя включаем, точки разрыва не включаем.

4. Получаем $\lbrack - 1;5\rbrack$ .

Ответ

$\lbrack - 1;5\rbrack$

Задание 3

Решите неравенство $\frac{(x - 4)}{(x + 2)} > 0$ .

Ответ и решение к заданию 3

1. ОДЗ: $x \neq - 2$ .

2. Нули числителя и точки разрыва дают критические значения: $- 2,4$ .

3. Расставляем знаки: $( - \infty; - 2)$ : +; $( - 2;4)$ : -; $(4; + \infty)$ : +.

4. Выбираем промежутки, где выражение удовлетворяет знаку $> 0$ ; нули числителя не включаем, точки разрыва не включаем.

5. Получаем $( - \infty; - 2) \cup (4; + \infty)$ .

Ответ

$( - \infty; - 2) \cup (4; + \infty)$

Задание 4

Решите неравенство $\frac{(x + 3)}{(x - 1)} \leq 0$ .

Ответ и решение к заданию 4

1. ОДЗ: $x \neq 1$ .

2. Нули числителя и точки разрыва дают критические значения: $- 3,1$ .

3. Расставляем знаки: $( - \infty; - 3)$ : +; $( - 3;1)$ : -; $(1; + \infty)$ : +.

4. Выбираем промежутки, где выражение удовлетворяет знаку $\leq 0$ ; нули числителя включаем, точки разрыва не включаем.

5. Получаем $\lbrack - 3;1)$ .

Ответ

$\lbrack - 3;1)$

Задание 5

Решите неравенство $\frac{(x - 2)(x + 1)}{(x - 4)} \geq 0$ .

Ответ и решение к заданию 5

1. ОДЗ: $x \neq 4$ .

2. Нули числителя и точки разрыва дают критические значения: $- 1,2,4$ .

3. Расставляем знаки: $( - \infty; - 1)$ : -; $( - 1;2)$ : +; $(2;4)$ : -; $(4; + \infty)$ : +.

4. Выбираем промежутки, где выражение удовлетворяет знаку $\geq 0$ ; нули числителя включаем, точки разрыва не включаем.

5. Получаем $\lbrack - 1;2\rbrack \cup (4; + \infty)$ .

Ответ

$\lbrack - 1;2\rbrack \cup (4; + \infty)$

Задание 6

Решите неравенство $\frac{(x - 3)(x + 2)}{(x - 1)} < 0$ .

Ответ и решение к заданию 6

1. ОДЗ: $x \neq 1$ .

2. Нули числителя и точки разрыва дают критические значения: $- 2,1,3$ .

3. Расставляем знаки: $( - \infty; - 2)$ : -; $( - 2;1)$ : +; $(1;3)$ : -; $(3; + \infty)$ : +.

4. Выбираем промежутки, где выражение удовлетворяет знаку $< 0$ ; нули числителя не включаем, точки разрыва не включаем.

5. Получаем $( - \infty; - 2) \cup (1;3)$ .

Ответ

$( - \infty; - 2) \cup (1;3)$

Задание 7

Решите неравенство $\frac{(x - 1)}{(x - 3)(x + 2)} > 0$ .

Ответ и решение к заданию 7

1. ОДЗ: $x \neq - 2$ , $x \neq 3$ .

2. Нули числителя и точки разрыва дают критические значения: $- 2,1,3$ .

3. Расставляем знаки: $( - \infty; - 2)$ : -; $( - 2;1)$ : +; $(1;3)$ : -; $(3; + \infty)$ : +.

5. Получаем $( - 2;1) \cup (3; + \infty)$ .

Ответ

$( - 2;1) \cup (3; + \infty)$

Задание 8

Решите неравенство $\frac{(x)(x + 4)}{(x - 2)} \leq 0$ .

Ответ и решение к заданию 8

1. ОДЗ: $x \neq 2$ .

2. Нули числителя и точки разрыва дают критические значения: $- 4,0,2$ .

3. Расставляем знаки: $( - \infty; - 4)$ : -; $( - 4;0)$ : +; $(0;2)$ : -; $(2; + \infty)$ : +.

5. Получаем $\left( - \infty; - 4\rbrack \cup \lbrack 0;2 \right)$ .

Ответ

$\left( - \infty; - 4\rbrack \cup \lbrack 0;2 \right)$

Задание 9

Решите неравенство $\frac{(x - 5)(x + 2)}{(x)} \geq 0$ .

Ответ и решение к заданию 9

1. ОДЗ: $x \neq 0$ .

2. Нули числителя и точки разрыва дают критические значения: $- 2,0,5$ .

3. Расставляем знаки: $( - \infty; - 2)$ : -; $( - 2;0)$ : +; $(0;5)$ : -; $(5; + \infty)$ : +.

5. Получаем $\lbrack - 2;0) \cup \lbrack 5; + \infty)$ .

Ответ

$\lbrack - 2;0) \cup \lbrack 5; + \infty)$

Задание 10

Решите неравенство $\frac{(x - 3)(x - 1)}{(x - 5)} \leq 0$ .

Ответ и решение к заданию 10

1. ОДЗ: $x \neq 5$ .

2. Нули числителя и точки разрыва дают критические значения: $1,3,5$ .

3. Расставляем знаки: $( - \infty;1)$ : -; $(1;3)$ : +; $(3;5)$ : -; $(5; + \infty)$ : +.

5. Получаем $\left( - \infty;1\rbrack \cup \lbrack 3;5 \right)$ .

Ответ

$\left( - \infty;1\rbrack \cup \lbrack 3;5 \right)$

Задание 11

Решите неравенство $(x + 3)^{2}(x - 1) \leq 0$ .

Ответ и решение к заданию 11

1. Нули числителя и точки разрыва дают критические значения: $- 3,1$ .

2. Расставляем знаки: $( - \infty; - 3)$ : -; $( - 3;1)$ : -; $(1; + \infty)$ : +.

4. Получаем $( - \infty;1\rbrack$ .

Ответ

$( - \infty;1\rbrack$

Задание 12

Решите неравенство $\frac{(x - 1)}{(x + 2)^{2}} \leq 0$ .

Ответ и решение к заданию 12

1. ОДЗ: $x \neq - 2$ .

2. Нули числителя и точки разрыва дают критические значения: $- 2,1$ .

3. Расставляем знаки: $( - \infty; - 2)$ : -; $( - 2;1)$ : -; $(1; + \infty)$ : +.

5. Получаем $( - \infty; - 2) \cup ( - 2;1\rbrack$ .

Ответ

$( - \infty; - 2) \cup ( - 2;1\rbrack$

Задание 13

Решите неравенство $\frac{(x - 2)}{(x - 1)^{2}} \geq 0$ .

Ответ и решение к заданию 13

1. ОДЗ: $x \neq 1$ .

2. Нули числителя и точки разрыва дают критические значения: $1,2$ .

3. Расставляем знаки: $( - \infty;1)$ : -; $(1;2)$ : -; $(2; + \infty)$ : +.

5. Получаем $\lbrack 2; + \infty)$ .

Ответ

$\lbrack 2; + \infty)$

Задание 14

Решите неравенство $\frac{(x - 1)}{(x + 2)(x - 4)} < 0$ .

Ответ и решение к заданию 14

1. ОДЗ: $x \neq - 2$ , $x \neq 4$ .

2. Нули числителя и точки разрыва дают критические значения: $- 2,1,4$ .

3. Расставляем знаки: $( - \infty; - 2)$ : -; $( - 2;1)$ : +; $(1;4)$ : -; $(4; + \infty)$ : +.

5. Получаем $( - \infty; - 2) \cup (1;4)$ .

Ответ

$( - \infty; - 2) \cup (1;4)$

Задание 15

Решите неравенство $\frac{(x + 2)}{(x - 1)(x - 5)} > 0$ .

Ответ и решение к заданию 15

1. ОДЗ: $x \neq 1$ , $x \neq 5$ .

2. Нули числителя и точки разрыва дают критические значения: $- 2,1,5$ .

3. Расставляем знаки: $( - \infty; - 2)$ : -; $( - 2;1)$ : +; $(1;5)$ : -; $(5; + \infty)$ : +.

5. Получаем $( - 2;1) \cup (5; + \infty)$ .

Ответ

$( - 2;1) \cup (5; + \infty)$

Задание 16

Решите неравенство $\frac{(x - 4)(x + 1)}{(x - 2)^{2}} > 0$ .

Ответ и решение к заданию 16

1. ОДЗ: $x \neq 2$ .

2. Нули числителя и точки разрыва дают критические значения: $- 1,2,4$ .

3. Расставляем знаки: $( - \infty; - 1)$ : +; $( - 1;2)$ : -; $(2;4)$ : -; $(4; + \infty)$ : +.

5. Получаем $( - \infty; - 1) \cup (4; + \infty)$ .

Ответ

$( - \infty; - 1) \cup (4; + \infty)$

Задание 17

Повторение: показательные уравнения

Решите $3^{x} = 81$ .

Ответ и решение к заданию 17

1. $81 = 3^{4}$ .

2. $x = 4$ .

Ответ

$4$

Задание 18

Повторение: логарифмы

Решите $\log_{2}(x - 1) = 3$ .

Ответ и решение к заданию 18

1. ОДЗ: $x > 1$ .

2. $x - 1 = 8$ , поэтому $x = 9$ .

Ответ

$9$

Задание 19

Повторение: тригонометрия

Решите $\sin x = 1$ на $\lbrack 0;2\pi\rbrack$ .

Ответ и решение к заданию 19

1. $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ .

2. На отрезке $x = \frac{\pi}{2}$ .

Ответ

$\frac{\pi}{2}$

Задание 20

Повторение: площадь сферы

Радиус сферы равен $4$ . Найдите её площадь.

Ответ и решение к заданию 20

1. $S = 4\pi r^{2}$ .

2. $S = 4\pi \cdot 16 = 64\pi$ .

Ответ

$64\pi$

02. Средний уровень: задания 21-35

Задание 21

Решите неравенство $\frac{(x - 2)^{2}(x + 1)}{(x - 4)} \geq 0$ .

Ответ и решение к заданию 21

1. ОДЗ: $x \neq 4$ .

2. Нули числителя и точки разрыва дают критические значения: $- 1,2,4$ .

3. Расставляем знаки: $( - \infty; - 1)$ : +; $( - 1;2)$ : -; $(2;4)$ : -; $(4; + \infty)$ : +.

5. Получаем $( - \infty; - 1\rbrack \cup \{ 2\} \cup (4; + \infty)$ .

Ответ

$( - \infty; - 1\rbrack \cup \{ 2\} \cup (4; + \infty)$

Задание 22

Решите неравенство.

$\frac{x^{3} - 4x^{2}}{x - 2} > 0.$

Ответ и решение к заданию 22

1. Преобразование. Сначала разложим многочлены на множители.

2. $x^{3} - 4x^{2} = x^{2}(x - 4).$

3. ОДЗ: $x \neq 2$ .

4. Нули числителя и точки разрыва дают критические значения: $0,2,4$ .

5. Расставляем знаки: $( - \infty;0)$ : +; $(0;2)$ : +; $(2;4)$ : -; $(4; + \infty)$ : +.

6. Выбираем промежутки, где выражение удовлетворяет знаку $> 0$ ; нули числителя не включаем, точки разрыва не включаем.

7. Получаем $( - \infty;0) \cup (0;2) \cup (4; + \infty)$ .

Ответ

$( - \infty;0) \cup (0;2) \cup (4; + \infty)$

Задание 23

Решите неравенство.

$\frac{x^{3} - 2x^{2} - 15x + 36}{x} < 0.$

Ответ и решение к заданию 23

1. Преобразование. Сначала разложим многочлены на множители.

2. $x^{3} - 2x^{2} - 15x + 36 = (x + 4)(x - 3)^{2}.$

3. ОДЗ: $x \neq 0$ .

4. Нули числителя и точки разрыва дают критические значения: $- 4,0,3$ .

5. Расставляем знаки: $( - \infty; - 4)$ : +; $( - 4;0)$ : -; $(0;3)$ : +; $(3; + \infty)$ : +.

6. Выбираем промежутки, где выражение удовлетворяет знаку $< 0$ ; нули числителя не включаем, точки разрыва не включаем.

7. Получаем $( - 4;0)$ .

Ответ

$( - 4;0)$

Задание 24

Решите неравенство.

$\frac{x^{2} - 3x}{x^{2} - 4x - 5} \geq 0.$

Ответ и решение к заданию 24

1. Преобразование. Сначала разложим многочлены на множители.

2. $x^{2} - 3x = x(x - 3),\quad\quad x^{2} - 4x - 5 = (x + 1)(x - 5).$

3. ОДЗ: $x \neq - 1$ , $x \neq 5$ .

4. Нули числителя и точки разрыва дают критические значения: $- 1,0,3,5$ .

5. Расставляем знаки: $( - \infty; - 1)$ : +; $( - 1;0)$ : -; $(0;3)$ : +; $(3;5)$ : -; $(5; + \infty)$ : +.

6. Выбираем промежутки, где выражение удовлетворяет знаку $\geq 0$ ; нули числителя включаем, точки разрыва не включаем.

7. Получаем $( - \infty; - 1) \cup \lbrack 0;3\rbrack \cup (5; + \infty)$ .

Ответ

$( - \infty; - 1) \cup \lbrack 0;3\rbrack \cup (5; + \infty)$

Задание 25

Решите неравенство.

$\frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} - 4x} \leq 0.$

Ответ и решение к заданию 25

1. Преобразование. Сначала разложим многочлены на множители.

2. $x^{2} + x - 6 = (x + 3)(x - 2),\quad\quad x^{2} - 4x = x(x - 4).$

3. ОДЗ: $x \neq 0$ , $x \neq 4$ .

4. Нули числителя и точки разрыва дают критические значения: $- 3,0,2,4$ .

5. Расставляем знаки: $( - \infty; - 3)$ : +; $( - 3;0)$ : -; $(0;2)$ : +; $(2;4)$ : -; $(4; + \infty)$ : +.

6. Выбираем промежутки, где выражение удовлетворяет знаку $\leq 0$ ; нули числителя включаем, точки разрыва не включаем.

7. Получаем $\lbrack - 3;0) \cup \lbrack 2;4)$ .

Ответ

$\lbrack - 3;0) \cup \lbrack 2;4)$

Задание 26

Решите неравенство $\frac{(x - 2)^{2}}{(x)(x - 5)} \leq 0$ .

Ответ и решение к заданию 26

1. ОДЗ: $x \neq 0$ , $x \neq 5$ .

2. Нули числителя и точки разрыва дают критические значения: $0,2,5$ .

3. Расставляем знаки: $( - \infty;0)$ : +; $(0;2)$ : -; $(2;5)$ : -; $(5; + \infty)$ : +.

5. Получаем $(0;5)$ .

Ответ

$(0;5)$

Задание 27

Решите неравенство $\frac{(x - 1)(x + 5)}{(x - 3)^{2}} \geq 0$ .

Ответ и решение к заданию 27

1. ОДЗ: $x \neq 3$ .

2. Нули числителя и точки разрыва дают критические значения: $- 5,1,3$ .

3. Расставляем знаки: $( - \infty; - 5)$ : +; $( - 5;1)$ : -; $(1;3)$ : +; $(3; + \infty)$ : +.

5. Получаем $\left( - \infty; - 5\rbrack \cup \lbrack 1;3 \right) \cup (3; + \infty)$ .

Ответ

$\left( - \infty; - 5\rbrack \cup \lbrack 1;3 \right) \cup (3; + \infty)$

Задание 28

Решите неравенство $\frac{(x)(x - 3)}{(x + 2)^{2}} < 0$ .

Ответ и решение к заданию 28

1. ОДЗ: $x \neq - 2$ .

2. Нули числителя и точки разрыва дают критические значения: $- 2,0,3$ .

3. Расставляем знаки: $( - \infty; - 2)$ : +; $( - 2;0)$ : +; $(0;3)$ : -; $(3; + \infty)$ : +.

5. Получаем $(0;3)$ .

Ответ

$(0;3)$

Задание 29

Решите неравенство.

$\frac{x^{2} - 5x - 6}{x - 2} > 0.$

Ответ и решение к заданию 29

1. Преобразование. Сначала разложим многочлены на множители.

2. $x^{2} - 5x - 6 = (x - 6)(x + 1).$

3. ОДЗ: $x \neq 2$ .

4. Нули числителя и точки разрыва дают критические значения: $- 1,2,6$ .

5. Расставляем знаки: $( - \infty; - 1)$ : -; $( - 1;2)$ : +; $(2;6)$ : -; $(6; + \infty)$ : +.

7. Получаем $( - 1;2) \cup (6; + \infty)$ .

Ответ

$( - 1;2) \cup (6; + \infty)$

Задание 30

Решите неравенство.

$\frac{x^{2} + 4x - 12}{x - 1} < 0.$

Ответ и решение к заданию 30

1. Преобразование. Сначала разложим многочлены на множители.

2. $x^{2} + 4x - 12 = (x - 2)(x + 6).$

3. ОДЗ: $x \neq 1$ .

4. Нули числителя и точки разрыва дают критические значения: $- 6,1,2$ .

5. Расставляем знаки: $( - \infty; - 6)$ : -; $( - 6;1)$ : +; $(1;2)$ : -; $(2; + \infty)$ : +.

7. Получаем $( - \infty; - 6) \cup (1;2)$ .

Ответ

$( - \infty; - 6) \cup (1;2)$

Задание 31

Решите неравенство $\frac{(x - 5)^{2}(x + 2)}{(x - 3)} \geq 0$ .

Ответ и решение к заданию 31

1. ОДЗ: $x \neq 3$ .

2. Нули числителя и точки разрыва дают критические значения: $- 2,3,5$ .

3. Расставляем знаки: $( - \infty; - 2)$ : +; $( - 2;3)$ : -; $(3;5)$ : +; $(5; + \infty)$ : +.

5. Получаем $( - \infty; - 2\rbrack \cup (3; + \infty)$ .

Ответ

$( - \infty; - 2\rbrack \cup (3; + \infty)$

Задание 32

Решите неравенство $\frac{(x - 1)(x + 4)^{2}}{(x - 2)} \leq 0$ .

Ответ и решение к заданию 32

1. ОДЗ: $x \neq 2$ .

2. Нули числителя и точки разрыва дают критические значения: $- 4,1,2$ .

3. Расставляем знаки: $( - \infty; - 4)$ : +; $( - 4;1)$ : +; $(1;2)$ : -; $(2; + \infty)$ : +.

5. Получаем $\{ - 4\} \cup \lbrack 1;2)$ .

Ответ

$\{ - 4\} \cup \lbrack 1;2)$

Задание 33

Решите неравенство $\frac{(x - 1)^{2}(x + 3)}{(x - 4)^{2}} \geq 0$ .

Ответ и решение к заданию 33

1. ОДЗ: $x \neq 4$ .

2. Нули числителя и точки разрыва дают критические значения: $- 3,1,4$ .

3. Расставляем знаки: $( - \infty; - 3)$ : -; $( - 3;1)$ : +; $(1;4)$ : +; $(4; + \infty)$ : +.

5. Получаем $\lbrack - 3;4) \cup (4; + \infty)$ .

Ответ

$\lbrack - 3;4) \cup (4; + \infty)$

Задание 34

Решите неравенство $\frac{(x - 2)(x + 2)^{2}}{(x - 5)} \leq 0$ .

Ответ и решение к заданию 34

1. ОДЗ: $x \neq 5$ .

2. Нули числителя и точки разрыва дают критические значения: $- 2,2,5$ .

3. Расставляем знаки: $( - \infty; - 2)$ : +; $( - 2;2)$ : +; $(2;5)$ : -; $(5; + \infty)$ : +.

5. Получаем $\{ - 2\} \cup \lbrack 2;5)$ .

Ответ

$\{ - 2\} \cup \lbrack 2;5)$

Задание 35

Решите неравенство.

$\frac{x^{3} - 3x^{2}}{x + 1} > 0.$

Ответ и решение к заданию 35

1. Преобразование. Сначала разложим многочлены на множители.

2. $x^{3} - 3x^{2} = x^{2}(x - 3).$

3. ОДЗ: $x \neq - 1$ .

4. Нули числителя и точки разрыва дают критические значения: $- 1,0,3$ .

5. Расставляем знаки: $( - \infty; - 1)$ : +; $( - 1;0)$ : -; $(0;3)$ : -; $(3; + \infty)$ : +.

7. Получаем $( - \infty; - 1) \cup (3; + \infty)$ .

Ответ

$( - \infty; - 1) \cup (3; + \infty)$

03. Повышенный уровень: задания 36-40

Задание 36

Решите неравенство.

$\frac{x^{3} + x^{2} - 6x}{x - 4} > 0.$

Ответ и решение к заданию 36

1. Преобразование. Сначала разложим многочлены на множители.

2. $x^{3} + x^{2} - 6x = x(x - 2)(x + 3).$

3. ОДЗ: $x \neq 4$ .

4. Нули числителя и точки разрыва дают критические значения: $- 3,0,2,4$ .

5. Расставляем знаки: $( - \infty; - 3)$ : +; $( - 3;0)$ : -; $(0;2)$ : +; $(2;4)$ : -; $(4; + \infty)$ : +.

7. Получаем $( - \infty; - 3) \cup (0;2) \cup (4; + \infty)$ .

Ответ

$( - \infty; - 3) \cup (0;2) \cup (4; + \infty)$

Задание 37

Решите неравенство.

$\frac{x^{3} - 3x^{2} - 6x + 8}{x - 3} \leq 0.$

Ответ и решение к заданию 37

1. Преобразование. Сначала разложим многочлены на множители.

2. $x^{3} - 3x^{2} - 6x + 8 = (x - 1)(x - 4)(x + 2).$

3. ОДЗ: $x \neq 3$ .

4. Нули числителя и точки разрыва дают критические значения: $- 2,1,3,4$ .

5. Расставляем знаки: $( - \infty; - 2)$ : +; $( - 2;1)$ : -; $(1;3)$ : +; $(3;4)$ : -; $(4; + \infty)$ : +.

7. Получаем $\lbrack - 2;1\rbrack \cup (3;4\rbrack$ .

Ответ

$\lbrack - 2;1\rbrack \cup (3;4\rbrack$

Задание 38

Решите неравенство.

$\frac{x^{2} - x - 2}{x^{2} - 5x} \geq 0.$

Ответ и решение к заданию 38

1. Преобразование. Сначала разложим многочлены на множители.

2. $x^{2} - x - 2 = (x - 2)(x + 1),\quad\quad x^{2} - 5x = x(x - 5).$

3. ОДЗ: $x \neq 0$ , $x \neq 5$ .

4. Нули числителя и точки разрыва дают критические значения: $- 1,0,2,5$ .

5. Расставляем знаки: $( - \infty; - 1)$ : +; $( - 1;0)$ : -; $(0;2)$ : +; $(2;5)$ : -; $(5; + \infty)$ : +.

7. Получаем $( - \infty; - 1\rbrack \cup (0;2\rbrack \cup (5; + \infty)$ .

Ответ

$( - \infty; - 1\rbrack \cup (0;2\rbrack \cup (5; + \infty)$

Задание 39

Решите неравенство.

$\frac{x^{2} + x - 12}{x^{2} + x - 2} < 0.$

Ответ и решение к заданию 39

1. Преобразование. Сначала разложим многочлены на множители.

2. $x^{2} + x - 12 = (x - 3)(x + 4),\quad\quad x^{2} + x - 2 = (x - 1)(x + 2).$

3. ОДЗ: $x \neq - 2$ , $x \neq 1$ .

4. Нули числителя и точки разрыва дают критические значения: $- 4, - 2,1,3$ .

5. Расставляем знаки: $( - \infty; - 4)$ : +; $( - 4; - 2)$ : -; $( - 2;1)$ : +; $(1;3)$ : -; $(3; + \infty)$ : +.

7. Получаем $( - 4; - 2) \cup (1;3)$ .

Ответ

$( - 4; - 2) \cup (1;3)$

Задание 40

Решите неравенство.

$\frac{x^{2} + 3x - 10}{x^{2}} < 0.$

Ответ и решение к заданию 40

1. Преобразование. Сначала разложим многочлены на множители.

2. $x^{2} + 3x - 10 = (x + 5)(x - 2).$

3. ОДЗ: $x \neq 0$ .

4. Нули числителя и точки разрыва дают критические значения: $- 5,0,2$ .

5. Расставляем знаки: $( - \infty; - 5)$ : +; $( - 5;0)$ : -; $(0;2)$ : -; $(2; + \infty)$ : +.

7. Получаем $( - 5;0) \cup (0;2)$ .

Ответ

$( - 5;0) \cup (0;2)$

Изучить теорию . Повторить предыдущую тему .