Урок 23. Тестовые задания (40 вопросов)

10.10.2026 - Яна -

Математика
ЕГЭ
Профиль
Тесты

40 заданий: 36 по теме «Показательные и логарифмические модели» и 4 на повторение. Задания 1-20: начальный уровень, 21-35: средний, 36-40: повышенный уровень. Решения открываются отдельно под каждым заданием.

Содержание теста

01. Начальный уровень: задания 1-20

02. Средний уровень: задания 21-35

03. Повышенный уровень: задания 36-40

Теория PDF Задания PDF Ответы и решения PDF

01. Начальный уровень: задания 1-20

Задание 1

Решите $2^{x} = 8$ .

Ответ и решение к заданию 1

1. $8 = 2^{3}$ .

2. При равных основаниях $x = 3$ .

Ответ

$3$

Задание 2

Решите $3^{x - 1} = 27$ .

Ответ и решение к заданию 2

1. $27 = 3^{3}$ .

2. $x - 1 = 3$ .

3. $x = 4$ .

Ответ

$4$

Задание 3

Решите $5^{2x - 1} = 125$ .

Ответ и решение к заданию 3

1. $125 = 5^{3}$ .

2. $2x - 1 = 3$ .

3. $x = 2$ .

Ответ

$2$

Задание 4

Решите $\left( \frac{1}{2} \right)^{x + 1} = 8$ .

Ответ и решение к заданию 4

1. $8 = 2^{3} = \left( \frac{1}{2} \right)^{- 3}$ .

2. $x + 1 = - 3$ .

3. $x = - 4$ .

Ответ

$- 4$

Задание 5

Решите $9^{x} = 27$ .

Ответ и решение к заданию 5

1. $3^{2x} = 3^{3}$ .

2. $2x = 3$ .

3. $x = \frac{3}{2}$ .

Ответ

$\frac{3}{2}$

Задание 6

Решите $4^{x + 1} = 8^{x - 1}$ .

Ответ и решение к заданию 6

1. $2^{2x + 2} = 2^{3x - 3}$ .

2. $2x + 2 = 3x - 3$ .

3. $x = 5$ .

Ответ

$5$

Задание 7

Решите $2^{x^{2} - 1} = 8$ .

Ответ и решение к заданию 7

1. $8 = 2^{3}$ .

2. $x^{2} - 1 = 3$ , значит $x^{2} = 4$ .

3. $x = - 2$ или $x = 2$ .

Ответ

$- 2;2$

Задание 8

Решите $3^{x^{2} - 2x} = 1$ .

Ответ и решение к заданию 8

1. $1 = 3^{0}$ .

2. $x^{2} - 2x = 0$ .

3. $x(x - 2) = 0$ , поэтому $x = 0$ или $x = 2$ .

Ответ

$0;2$

Задание 9

Решите $2^{x} + 2^{x + 1} = 24$ .

Ответ и решение к заданию 9

1. $2^{x}(1 + 2) = 24$ .

2. $2^{x} = 8$ .

3. $x = 3$ .

Ответ

$3$

Задание 10

Решите $5^{x + 1} - 5^{x} = 100$ .

Ответ и решение к заданию 10

1. $5^{x}(5 - 1) = 100$ .

2. $5^{x} = 25$ .

3. $x = 2$ .

Ответ

$2$

Задание 11

а) Решите уравнение.

$\log_{2}x = 5.$

б) Найдите все корни, принадлежащие отрезку $\lbrack 30;35\rbrack$ .

Ответ и решение к заданию 11

1. ОДЗ: $x > 0$ .

2. $x = 2^{5} = 32$ .

3. Корень допустим.

4. Отбор корней. На указанном отрезке остаётся $x = 32$ .

Ответ

а) $32$ .

б)

Задание 12

а) Решите уравнение.

$\log_{3}(x - 1) = 2.$

б) Найдите все корни, принадлежащие отрезку $\lbrack 5;12\rbrack$ .

Ответ и решение к заданию 12

1. ОДЗ: $x > 1$ .

2. $x - 1 = 3^{2} = 9$ .

3. $x = 10$ .

4. Отбор корней. На указанном отрезке остаётся $x = 10$ .

Ответ

а) $10$ .

б)

Задание 13

а) Решите уравнение.

$\log_{\frac{1}{2}}(x + 3) = - 2.$

б) Найдите все корни, принадлежащие отрезку $\lbrack 0;2\rbrack$ .

Ответ и решение к заданию 13

1. ОДЗ: $x > - 3$ .

2. $x + 3 = \left( \frac{1}{2} \right)^{- 2} = 4$ .

3. $x = 1$ .

4. Отбор корней. На указанном отрезке остаётся $x = 1$ .

Ответ

а) $1$ .

б)

Задание 14

а) Решите уравнение.

$\log_{5}(2x - 1) = 1.$

б) Найдите все корни, принадлежащие отрезку $\lbrack 0;5\rbrack$ .

Ответ и решение к заданию 14

1. ОДЗ: $2x - 1 > 0$ .

2. $2x - 1 = 5$ .

3. $x = 3$ , ОДЗ выполнена.

4. Отбор корней. На указанном отрезке остаётся $x = 3$ .

Ответ

а) $3$ .

б)

Задание 15

а) Решите уравнение.

$\log_{2}(x - 3) = \log_{2}5.$

б) Найдите все корни, принадлежащие отрезку $\lbrack 0;10\rbrack$ .

Ответ и решение к заданию 15

1. ОДЗ: $x > 3$ .

2. $x - 3 = 5$ .

3. $x = 8$ .

4. Отбор корней. На указанном отрезке остаётся $x = 8$ .

Ответ

а) $8$ .

б)

Задание 16

а) Решите уравнение.

$\log_{4}(x + 3) = \frac{1}{2}.$

б) Найдите все корни, принадлежащие отрезку $\lbrack - 2;0\rbrack$ .

Ответ и решение к заданию 16

1. ОДЗ: $x > - 3$ .

2. $x + 3 = 4^{\frac{1}{2}} = 2$ .

3. $x = - 1$ .

4. Отбор корней. На указанном отрезке остаётся $x = - 1$ .

Ответ

а) $- 1$ .

б)

-1

Задание 17

Повторение: тригонометрия

Решите $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\lbrack 0;2\pi\rbrack$ .

Ответ и решение к заданию 17

1. Синус положителен в I и II четвертях.

2. Корни: $\frac{\pi}{4}$ и $\frac{3\pi}{4}$ .

Ответ

$\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}$

Задание 18

Повторение: объём цилиндра

Радиус цилиндра равен $3$ , высота $5$ . Найдите объём.

Ответ и решение к заданию 18

1. $V = \pi r^{2}h$ .

2. $V = \pi \cdot 9 \cdot 5 = 45\pi$ .

Ответ

$45\pi$

Задание 19

Повторение: теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике гипотенуза $10$ , один катет $6$ . Найдите второй катет.

Ответ и решение к заданию 19

1. $b = \sqrt{10^{2} - 6^{2}}$ .

2. $b = \sqrt{64} = 8$ .

Ответ

$8$

Задание 20

Повторение: скалярное произведение

Даны векторы $\overrightarrow{a} = (2;3)$ и $\overrightarrow{b} = (4; - 1)$ . Найдите $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$ .

Ответ и решение к заданию 20

1. $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2 \cdot 4 + 3 \cdot ( - 1)$ .

2. Получаем $8 - 3 = 5$ .

Ответ

$5$

02. Средний уровень: задания 21-35

Задание 21

Решите $4^{x} - 5 \cdot 2^{x} + 4 = 0$ .

Ответ и решение к заданию 21

1. $t = 2^{x} > 0$ , тогда $4^{x} = t^{2}$ .

2. $t^{2} - 5t + 4 = 0$ , откуда $t = 1$ или $4$ .

3. $x = 0$ или $x = 2$ .

Ответ

$0;2$

Задание 22

Решите $9^{x} - 10 \cdot 3^{x} + 9 = 0$ .

Ответ и решение к заданию 22

1. $t = 3^{x} > 0$ .

2. $t^{2} - 10t + 9 = 0$ , откуда $t = 1$ или $9$ .

3. $x = 0$ или $x = 2$ .

Ответ

$0;2$

Задание 23

а) Решите уравнение.

$4^{x} + 2^{x} - 6 = 0.$

б) Найдите все корни, принадлежащие отрезку $\lbrack 0;2\rbrack$ .

Ответ и решение к заданию 23

1. $t = 2^{x} > 0$ .

2. $t^{2} + t - 6 = 0$ , поэтому $t = 2$ или $t = - 3$ .

3. Отрицательное значение отбрасываем; $2^{x} = 2$ , значит $x = 1$ .

4. Отбор корней. На указанном отрезке остаётся $x = 1$ .

Ответ

а) $1$ .

б)

Задание 24

а) Решите уравнение.

$3^{x + 1} + 3^{x} = 108.$

б) Найдите все корни, принадлежащие отрезку $\lbrack 2;4\rbrack$ .

Ответ и решение к заданию 24

1. $3^{x}(3 + 1) = 108$ .

2. $3^{x} = 27$ .

3. $x = 3$ .

4. Отбор корней. На указанном отрезке остаётся $x = 3$ .

Ответ

а) $3$ .

б)

Задание 25

а) Решите уравнение.

$\log_{3}(x + 2) = \log_{3}(2x - 1).$

б) Найдите все корни, принадлежащие отрезку $\lbrack 2;4\rbrack$ .

Ответ и решение к заданию 25

1. ОДЗ: $x > - 2$ и $x > \frac{1}{2}$ , то есть $x > \frac{1}{2}$ .

2. $x + 2 = 2x - 1$ .

3. $x = 3$ , корень допустим.

4. Отбор корней. На указанном отрезке остаётся $x = 3$ .

Ответ

а) $3$ .

б)

Задание 26

а) Решите уравнение.

$\log_{2}\left( x^{2} - 1 \right) = 3.$

б) Найдите все корни, принадлежащие отрезку $\lbrack - 4;0\rbrack$ .

Ответ и решение к заданию 26

1. ОДЗ: $x^{2} - 1 > 0$ .

2. $x^{2} - 1 = 8$ , значит $x^{2} = 9$ .

3. $x = - 3$ и $x = 3$ ; оба допустимы.

4. Отбор корней. На указанном отрезке остаётся $x = - 3$ .

Ответ

а) $- 3;3$ .

б)

-3

Задание 27

а) Решите уравнение.

$\log_{\frac{1}{3}}(2x + 1) = - 1.$

б) Найдите все корни, принадлежащие отрезку $\lbrack 0;2\rbrack$ .

Ответ и решение к заданию 27

1. ОДЗ: $2x + 1 > 0$ .

2. $2x + 1 = \left( \frac{1}{3} \right)^{- 1} = 3$ .

3. $x = 1$ .

4. Отбор корней. На указанном отрезке остаётся $x = 1$ .

Ответ

а) $1$ .

б)

Задание 28

а) Решите уравнение.

$\log_{2}x + \log_{2}4 = 5.$

б) Найдите все корни, принадлежащие отрезку $\lbrack 7;9\rbrack$ .

Ответ и решение к заданию 28

1. $\log_{2}4 = 2$ .

2. $\log_{2}x = 3$ .

3. $x = 8$ .

4. Отбор корней. На указанном отрезке остаётся $x = 8$ .

Ответ

а) $8$ .

б)

Задание 29

а) Решите уравнение.

$\log_{3}\left( x^{2} \right) = 2.$

б) Найдите все корни, принадлежащие отрезку $\lbrack 0;4\rbrack$ .

Ответ и решение к заданию 29

1. ОДЗ: $x \neq 0$ .

2. $x^{2} = 3^{2} = 9$ .

3. $x = - 3$ или $x = 3$ .

4. Отбор корней. На указанном отрезке остаётся $x = 3$ .

Ответ

а) $- 3;3$ .

б)

Задание 30

а) Решите уравнение.

$\log_{2}(x - 1) + \log_{2}(x + 1) = 3.$

б) Найдите все корни, принадлежащие отрезку $\lbrack 2;4\rbrack$ .

Ответ и решение к заданию 30

1. ОДЗ: $x > 1$ .

2. $(x - 1)(x + 1) = 8$ .

3. $x^{2} = 9$ ; по ОДЗ остаётся $x = 3$ .

4. Отбор корней. На указанном отрезке остаётся $x = 3$ .

Ответ

а) $3$ .

б)

Задание 31

а) Решите уравнение.

$2\log_{3}x = 4.$

б) Найдите все корни, принадлежащие отрезку $\lbrack 8;10\rbrack$ .

Ответ и решение к заданию 31

1. ОДЗ: $x > 0$ .

2. $\log_{3}x = 2$ .

3. $x = 9$ .

4. Отбор корней. На указанном отрезке остаётся $x = 9$ .

Ответ

а) $9$ .

б)

Задание 32

а) Решите уравнение.

$2^{\log_{2}x} = 16.$

б) Найдите все корни, принадлежащие отрезку $\lbrack 15;17\rbrack$ .

Ответ и решение к заданию 32

1. ОДЗ логарифма: $x > 0$ .

2. $2^{\log_{2}x} = x$ .

3. $x = 16$ .

4. Отбор корней. На указанном отрезке остаётся $x = 16$ .

Ответ

а) $16$ .

б)

Задание 33

а) Решите уравнение.

$\log_{2}\left( 2^{x} \right) = 5.$

б) Найдите все корни, принадлежащие отрезку $\lbrack 4;6\rbrack$ .

Ответ и решение к заданию 33

1. $2^{x} > 0$ для любого $x$ .

2. $\log_{2}\left( 2^{x} \right) = x$ .

3. $x = 5$ .

4. Отбор корней. На указанном отрезке остаётся $x = 5$ .

Ответ

а) $5$ .

б)

Задание 34

а) Решите уравнение.

$3^{\log_{3}(x - 2)} = 7.$

б) Найдите все корни, принадлежащие отрезку $\lbrack 8;10\rbrack$ .

Ответ и решение к заданию 34

1. ОДЗ: $x - 2 > 0$ .

2. $3^{\log_{3}(x - 2)} = x - 2$ .

3. $x - 2 = 7$ , поэтому $x = 9$ .

4. Отбор корней. На указанном отрезке остаётся $x = 9$ .

Ответ

а) $9$ .

б)

Задание 35

а) Решите уравнение.

$\log_{5}\left( 5^{2x - 1} \right) = 3.$

б) Найдите все корни, принадлежащие отрезку $\lbrack 1;3\rbrack$ .

Ответ и решение к заданию 35

1. Аргумент степени положителен.

2. $\log_{5}\left( 5^{2x - 1} \right) = 2x - 1$ .

3. $2x - 1 = 3$ , поэтому $x = 2$ .

4. Отбор корней. На указанном отрезке остаётся $x = 2$ .

Ответ

а) $2$ .

б)

03. Повышенный уровень: задания 36-40

Задание 36

а) Решите уравнение.

$2^{2x} - 5 \cdot 2^{x} + 6 = 0.$

б) Найдите все корни, принадлежащие отрезку $\left\lbrack \frac{3}{2};2 \right\rbrack$ .

Ответ и решение к заданию 36

1. $t = 2^{x} > 0$ .

2. $t^{2} - 5t + 6 = 0$ , поэтому $t = 2$ или $3$ .

3. $x = 1$ или $x = \log_{2}3$ .

4. Отбор корней. На указанном отрезке остаётся $x = \log_{2}3$ .

Ответ

а) $1;\log_{2}3$ .

б)

$\log_{2}3$

Задание 37

а) Решите уравнение.

$2^{x} + 2^{- x} = \frac{5}{2}.$

б) Найдите все корни, принадлежащие отрезку $\lbrack 0;2\rbrack$ .

Ответ и решение к заданию 37

1. Положим $t = 2^{x} > 0$ , тогда $2^{- x} = \frac{1}{t}$ .

2. $t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}$ , то есть $2t^{2} - 5t + 2 = 0$ .

3. $t = 2$ или $t = \frac{1}{2}$ , поэтому $x = 1$ или $x = - 1$ .

4. Отбор корней. На указанном отрезке остаётся $x = 1$ .

Ответ

а) $- 1;1$ .

б)

Задание 38

а) Решите уравнение.

$\log_{2}x + \log_{2}(x - 2) = 3.$

б) Найдите все корни, принадлежащие отрезку $\lbrack 3;5\rbrack$ .

Ответ и решение к заданию 38

1. ОДЗ: $x > 2$ .

2. $x(x - 2) = 8$ .

3. Кандидаты $4$ и $- 2$ ; по ОДЗ остаётся $4$ .

4. Отбор корней. На указанном отрезке остаётся $x = 4$ .

Ответ

а) $4$ .

б)

Задание 39

а) Решите уравнение.

$\log_{3}(x - 1) - \log_{3}(x - 4) = 1.$

б) Найдите все корни, принадлежащие отрезку $\lbrack 5;6\rbrack$ .

Ответ и решение к заданию 39

1. ОДЗ: $x > 4$ .

2. $\frac{x - 1}{x - 4} = 3$ .

3. $x = \frac{11}{2}$ , корень допустим.

4. Отбор корней. На указанном отрезке остаётся $x = \frac{11}{2}$ .

Ответ

а) $\frac{11}{2}$ .

б)

$\frac{11}{2}$

Задание 40

а) Решите уравнение.

$\log_{2}(x + 2) - \log_{2}x = 2.$

б) Найдите все корни, принадлежащие отрезку $\lbrack 0;1\rbrack$ .

Ответ и решение к заданию 40

1. ОДЗ: $x > 0$ .

2. $\frac{x + 2}{x} = 4$ .

3. $x + 2 = 4x$ , поэтому $x = \frac{2}{3}$ .

4. Отбор корней. На указанном отрезке остаётся $x = \frac{2}{3}$ .

Ответ

а) $\frac{2}{3}$ .

б)

$\frac{2}{3}$

Изучить теорию . Повторить предыдущую тему .