Урок 22. Тестовые задания (40 вопросов)

1. $x = \pi n$ , $n \in \mathbb{Z}$ .

2. $0 \leq \pi n \leq 2\pi$ даёт $n = 0,1,2$ .

3. Корни: $0$ , $\pi$ , $2\pi$ .

Ответ

$0;\pi;2\pi$

1. $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ .

2. На промежутке подходят $n = - 1$ и $n = 0$ .

3. Получаем $- \frac{\pi}{2}$ и $\frac{\pi}{2}$ .

Ответ

$- \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}$

1. $x = \pi n$ .

2. $- 2 \leq n \leq 2$ .

3. Корни: $- 2\pi$ , $- \pi$ , $0$ , $\pi$ , $2\pi$ .

Ответ

$- 2\pi; - \pi;0;\pi;2\pi$

1. $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ или $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$ .

2. На одном обороте подходит $n = 0$ .

3. Корни: $\frac{\pi}{6}$ , $\frac{5\pi}{6}$ .

Ответ

$\frac{\pi}{6};\frac{5\pi}{6}$

1. $x = \frac{\pm \pi}{3} + 2\pi n$ .

2. На отрезке получаем $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{5\pi}{3}$ .

3. Оба значения дают косинус $\frac{1}{2}$ .

Ответ

$\frac{\pi}{3};\frac{5\pi}{3}$

1. Опорный угол $\frac{\pi}{4}$ .

2. Синус отрицателен в III и IV четвертях.

3. Корни: $\frac{5\pi}{4}$ , $\frac{7\pi}{4}$ .

Ответ

$\frac{5\pi}{4};\frac{7\pi}{4}$

1. $x = \frac{\pm 5\pi}{6} + 2\pi n$ .

2. На заданном промежутке подходят представители при $n = 0$ .

3. Корни: $- \frac{5\pi}{6}$ , $\frac{5\pi}{6}$ .

Ответ

$- \frac{5\pi}{6};\frac{5\pi}{6}$

1. $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$ .

2. Подходят $n = 0$ и $n = 1$ .

3. Корни: $\frac{\pi}{4}$ , $\frac{5\pi}{4}$ .

Ответ

$\frac{\pi}{4};\frac{5\pi}{4}$

1. Основной угол можно взять $- \frac{\pi}{3}$ .

2. $x = - \frac{\pi}{3} + \pi n$ .

3. На отрезке получаем $\frac{2\pi}{3}$ и $\frac{5\pi}{3}$ .

Ответ

$\frac{2\pi}{3};\frac{5\pi}{3}$

1. $x = \pi + 2\pi n$ .

2. На одном обороте подходит $n = 0$ .

3. $x = \pi$ .

Ответ

$\pi$

1. $\sin x = \frac{1}{2}$ .

2. Общие серии: $\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$ .

3. На промежутке остаются $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$ .

Ответ

$\frac{\pi}{6};\frac{5\pi}{6}$

1. $\cos x = - \frac{1}{2}$ .

2. Косинус отрицателен во II и III четвертях.

3. Корни: $\frac{2\pi}{3}$ , $\frac{4\pi}{3}$ .

Ответ

$\frac{2\pi}{3};\frac{4\pi}{3}$

1. $\tan x = 1$ .

2. $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$ .

3. Подходят $n = - 1,0$ : $- \frac{3\pi}{4}$ , $\frac{\pi}{4}$ .

4. Общее решение пункта а: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$ , где $n \in Z$ .

Ответ

а) $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$ ; $n \in Z$ .

б)

$- \frac{3\pi}{4};\frac{\pi}{4}$

1. $2x = \pi n$ .

2. $x = \frac{\pi n}{2}$ .

3. При $n = 0,1,2$ : $0$ , $\frac{\pi}{2}$ , $\pi$ .

4. Общее решение пункта а: $x = \frac{\pi n}{2}$ , где $n \in Z$ .

Ответ

а) $x = \frac{\pi n}{2}$ ; $n \in Z$ .

б)

$0;\frac{\pi}{2};\pi$

1. $2x = 2\pi n$ .

2. $x = \pi n$ .

3. При $n = 0,1,2$ : $0$ , $\pi$ , $2\pi$ .

4. Общее решение пункта а: $x = \pi n$ , где $n \in Z$ .

Ответ

а) $x = \pi n$ ; $n \in Z$ .

б)

$0;\pi;2\pi$

1. $x - \frac{\pi}{6} = \pi n$ .

2. $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$ .

3. Подходят $n = 0,1$ : $\frac{\pi}{6}$ , $\frac{7\pi}{6}$ .

4. Общее решение пункта а: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$ , где $n \in Z$ .

Ответ

а) $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$ ; $n \in Z$ .

б)

$\frac{\pi}{6};\frac{7\pi}{6}$

1. $V = a^{3}$ .

2. $V = 4^{3} = 64$ .

Ответ

$64$

1. $c = \sqrt{5^{2} + 12^{2}}$ .

2. $c = 13$ .

Ответ

$13$

1. Координаты вектора: $(6;8)$ .

2. Длина равна $\sqrt{6^{2} + 8^{2}} = 10$ .

Ответ

$10$

1. События противоположны.

2. $1 - 0,3 = 0,7$ .

Ответ

$0,7$

1. $x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n$ .

2. $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$ .

3. Корни на отрезке: $\frac{\pi}{6}$ , $\frac{7\pi}{6}$ .

4. Общее решение пункта а: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$ , где $n \in Z$ .

Ответ

а) $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$ ; $n \in Z$ .

б)

$\frac{\pi}{6};\frac{7\pi}{6}$

1. $2x = \pi n$ .

2. $x = \frac{\pi n}{2}$ .

3. Подходят $n = 0,1,2$ : $0$ , $\frac{\pi}{2}$ , $\pi$ .

4. Общее решение пункта а: $x = \frac{\pi n}{2}$ , где $n \in Z$ .

Ответ

а) $x = \frac{\pi n}{2}$ ; $n \in Z$ .

б)

$0;\frac{\pi}{2};\pi$

1. $\sin x = 0$ или $\cos x = \frac{1}{2}$ .

2. Первая ветвь: $0$ , $\pi$ , $2\pi$ .

3. Вторая: $\frac{\pi}{3}$ , $\frac{5\pi}{3}$ ; объединяем.

4. Общее решение пункта а: $x = \pi n;\ \ \ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ , где $n \in Z$ .

Ответ

а) $x = \pi n;\ \ \ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ ; $n \in Z$ .

б)

$0;\frac{\pi}{3};\pi;\frac{5\pi}{3};2\pi$

1. $\sin x = \frac{1}{2}$ или $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

2. Первая ветвь: $\frac{\pi}{6}$ , $\frac{5\pi}{6}$ .

3. Вторая: $\frac{\pi}{4}$ , $\frac{7\pi}{4}$ ; объединяем по возрастанию.

4. Общее решение пункта а: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n;\ \ \ x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n;\ \ \ x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$ , где $n \in Z$ .

Ответ

а) $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n;\ \ \ x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n;\ \ \ x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$ ; $n \in Z$ .

б)

$\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{4};\frac{5\pi}{6};\frac{7\pi}{4}$

1. $\sin x = \pm 1$ .

2. На одном обороте это вершины окружности.

3. Корни: $\frac{\pi}{2}$ , $\frac{3\pi}{2}$ .

4. Общее решение пункта а: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ , где $n \in Z$ .

Ответ

а) $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ ; $n \in Z$ .

б)

$\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}$

1. $\cos x = \frac{\pm 1}{2}$ .

2. Для $\frac{1}{2}$ : $\frac{\pi}{3}$ , $\frac{5\pi}{3}$ ; для $- \frac{1}{2}$ : $\frac{2\pi}{3}$ , $\frac{4\pi}{3}$ .

3. Объединяем четыре корня.

4. Общее решение пункта а: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$ , где $n \in Z$ .

Ответ

а) $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$ ; $n \in Z$ .

б)

$\frac{\pi}{3};\frac{2\pi}{3};\frac{4\pi}{3};\frac{5\pi}{3}$

1. $\sin^{2}x = \frac{1}{2}$ , поэтому $\sin x = \frac{\pm \sqrt{2}}{2}$ .

2. На окружности получаем четыре диагональные точки.

3. Корни: $\frac{\pi}{4}$ , $\frac{3\pi}{4}$ , $\frac{5\pi}{4}$ , $\frac{7\pi}{4}$ .

4. Общее решение пункта а: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$ , где $n \in Z$ .

Ответ

а) $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$ ; $n \in Z$ .

б)

$\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4};\frac{5\pi}{4};\frac{7\pi}{4}$

1. $\sin x = 0$ или $\cos x = 0$ .

2. Первая ветвь: $- \pi$ , $0$ , $\pi$ ; вторая: $- \frac{\pi}{2}$ , $\frac{\pi}{2}$ .

3. Объединяем пять корней.

4. Общее решение пункта а: $x = \frac{\pi n}{2}$ , где $n \in Z$ .

Ответ

а) $x = \frac{\pi n}{2}$ ; $n \in Z$ .

б)

$- \pi; - \frac{\pi}{2};0;\frac{\pi}{2};\pi$

1. $\sin x = 0$ или $\cos x = - 1$ .

2. Первая ветвь даёт $0$ , $\pi$ , $2\pi$ .

3. Вторая даёт $\pi$ , который уже учтён.

4. Общее решение пункта а: $x = \pi n$ , где $n \in Z$ .

Ответ

а) $x = \pi n$ ; $n \in Z$ .

б)

$0;\pi;2\pi$

1. Используем $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ .

2. $\sin 2x = 1$ , значит $2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ .

3. $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$ ; подходят $\frac{\pi}{4}$ , $\frac{5\pi}{4}$ .

4. Общее решение пункта а: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$ , где $n \in Z$ .

Ответ

а) $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$ ; $n \in Z$ .

б)

$\frac{\pi}{4};\frac{5\pi}{4}$

1. $2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ .

2. $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$ .

3. Подходят $n = 0,1$ : $\frac{\pi}{4}$ , $\frac{3\pi}{4}$ .

4. Общее решение пункта а: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$ , где $n \in Z$ .

Ответ

а) $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$ ; $n \in Z$ .

б)

$\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}$

1. $\sin^{2}x = \frac{1}{2}$ .

2. $\sin x = \frac{\pm \sqrt{2}}{2}$ .

3. Корни: $\frac{\pi}{4}$ , $\frac{3\pi}{4}$ , $\frac{5\pi}{4}$ , $\frac{7\pi}{4}$ .

4. Общее решение пункта а: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$ , где $n \in Z$ .

Ответ

а) $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$ ; $n \in Z$ .

б)

$\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4};\frac{5\pi}{4};\frac{7\pi}{4}$

1. При $\cos x = 0$ равенство не выполняется, поэтому можно разделить на $\cos x$ .

2. $\tan x = 1$ .

3. Корни: $\frac{\pi}{4}$ , $\frac{5\pi}{4}$ .

4. Общее решение пункта а: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$ , где $n \in Z$ .

Ответ

а) $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$ ; $n \in Z$ .

б)

$\frac{\pi}{4};\frac{5\pi}{4}$

1. При $\cos x = 0$ исходное равенство не выполняется.

2. $\tan x = - 1$ .

3. Корни: $\frac{3\pi}{4}$ , $\frac{7\pi}{4}$ .

4. Общее решение пункта а: $x = - \frac{\pi}{4} + \pi n$ , где $n \in Z$ .

Ответ

а) $x = - \frac{\pi}{4} + \pi n$ ; $n \in Z$ .

б)

$\frac{3\pi}{4};\frac{7\pi}{4}$

1. $\sin x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

2. На отрицательной полуокружности в указанной записи находятся два корня.

3. Получаем $- \frac{2\pi}{3}$ и $- \frac{\pi}{3}$ .

4. Общее решение пункта а: $x = - \frac{\pi}{3} + 2\pi n;\ \ \ x = - \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ , где $n \in Z$ .

Ответ

а) $x = - \frac{\pi}{3} + 2\pi n;\ \ \ x = - \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ ; $n \in Z$ .

б)

$- \frac{2\pi}{3}; - \frac{\pi}{3}$

1. $t = \cos x \in \lbrack - 1;1\rbrack$ .

2. $(2t - 1)(t + 1) = 0$ , поэтому $t = \frac{1}{2}$ или $t = - 1$ .

3. Корни: $\frac{\pi}{3}$ , $\pi$ , $\frac{5\pi}{3}$ .

4. Общее решение пункта а: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;\ \ \ x = \pi + 2\pi n$ , где $n \in Z$ .

Ответ

а) $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;\ \ \ x = \pi + 2\pi n$ ; $n \in Z$ .

б)

$\frac{\pi}{3};\pi;\frac{5\pi}{3}$

1. $t = \sin x \in \lbrack - 1;1\rbrack$ .

2. $(2t - 1)(t - 1) = 0$ , значит $t = \frac{1}{2}$ или $t = 1$ .

3. Корни: $\frac{\pi}{6}$ , $\frac{\pi}{2}$ , $\frac{5\pi}{6}$ .

4. Общее решение пункта а: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n;\ \ \ x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n;\ \ \ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ , где $n \in Z$ .

Ответ

а) $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n;\ \ \ x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n;\ \ \ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ ; $n \in Z$ .

б)

$\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{6}$

1. $\left( 2\cos x - 1 \right)\left( 2\cos x + 1 \right) = 0$ .

2. $\cos x = \frac{1}{2}$ или $\cos x = - \frac{1}{2}$ .

3. Получаем $\frac{\pi}{3}$ , $\frac{2\pi}{3}$ , $\frac{4\pi}{3}$ , $\frac{5\pi}{3}$ .

4. Общее решение пункта а: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$ , где $n \in Z$ .

Ответ

а) $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$ ; $n \in Z$ .

б)

$\frac{\pi}{3};\frac{2\pi}{3};\frac{4\pi}{3};\frac{5\pi}{3}$

1. $2\cos^{2}x - 1 = \cos x$ .

2. $2t^{2} - t - 1 = 0$ , где $t = \cos x$ ; корни $t = 1$ и $t = - \frac{1}{2}$ .

3. Получаем $0$ , $\frac{2\pi}{3}$ , $\frac{4\pi}{3}$ , $2\pi$ .

4. Общее решение пункта а: $x = \frac{2\pi n}{3}$ , где $n \in Z$ .

Ответ

а) $x = \frac{2\pi n}{3}$ ; $n \in Z$ .

б)

$0;\frac{2\pi}{3};\frac{4\pi}{3};2\pi$

1. $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ .

2. $x = \pi + 4\pi n$ .

3. На отрезке подходит только $n = 0$ , поэтому $x = \pi$ .

4. Общее решение пункта а: $x = \pi + 4\pi n$ , где $n \in Z$ .

Ответ

а) $x = \pi + 4\pi n$ ; $n \in Z$ .

б)

$\pi$