Урок 20. Тестовые задания (40 вопросов)

1. Углы AOB и COD расположены напротив друг друга при пересечении двух прямых, значит, они вертикальные.

2. Вертикальные углы равны, поэтому $\angle COD = \angle AOB = 47^{\circ}$ .

Ответ: $47^{\circ}$

1. Углы AOB и BOC смежные, поэтому их сумма равна $180^{\circ}$ .

2. Составим уравнение: $(3x + 10) + (5x - 6) = 180$ .

3. $8x + 4 = 180$ , откуда $8x = 176$ и $x = 22$ .

4. $\angle AOB = 3 \cdot 22 + 10 = 76^{\circ}$ , $\angle BOC = 5 \cdot 22 - 6 = 104^{\circ}$ .

5. Проверка: $76^{\circ} + 104^{\circ} = 180^{\circ}$ .

Ответ: $x = 22$ ; $\angle AOB = 76^{\circ}$ ; $\angle BOC = 104^{\circ}$

1. Углы APQ и PQD лежат между параллельными прямыми по разные стороны секущей.

2. Это накрест лежащие углы, поэтому они равны.

3. Следовательно, $\angle PQD = 64^{\circ}$ .

Ответ: $64^{\circ}$

1. Сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых равна $180^{\circ}$ .

2. $(3x + 12) + (5x - 8) = 180$ , поэтому $8x + 4 = 180$ .

3. $8x = 176$ , значит $x = 22$ .

4. Углы равны $3 \cdot 22 + 12 = 78^{\circ}$ и $5 \cdot 22 - 8 = 102^{\circ}$ ; меньший угол равен $78^{\circ}$ .

Ответ: $x = 22$ ; $78^{\circ}$

1. Обозначим углы 2x, 3x и 4x.

2. Их сумма равна $180^{\circ}$ : $2x + 3x + 4x = 180^{\circ}$ .

3. $9x = 180^{\circ}$ , поэтому $x = 20^{\circ}$ .

4. Углы равны $40^{\circ}$ , $60^{\circ}$ и $80^{\circ}$ ; наибольший угол равен $80^{\circ}$ .

Ответ: $80^{\circ}$

1. Внешний угол BCD равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle BAC + \angle ABC$ .

2. Поэтому $124^{\circ} = 49^{\circ} + \angle ABC$ .

3. $\angle ABC = 124^{\circ} - 49^{\circ} = 75^{\circ}$ .

4. Проверка: внутренний угол C равен $180^{\circ} - 124^{\circ} = 56^{\circ}$ , а $49^{\circ} + 75^{\circ} + 56^{\circ} = 180^{\circ}$ .

Ответ: $75^{\circ}$

1. Даны две пары равных сторон и равные углы между ними.

2. Треугольники ABC и DEF равны по первому признаку - по двум сторонам и углу между ними.

3. Стороне BC соответствует сторона EF, поэтому $EF = BC = 11$ .

Ответ: 11

1. Равные стороны AB и AC сходятся в вершине A, значит, основание - BC, а углы B и C равны.

2. Сумма углов B и C равна $180^{\circ} - 38^{\circ} = 142^{\circ}$ .

3. Каждый из равных углов равен $\dfrac{142^{\circ}}{2} = 71^{\circ}$ .

Ответ: $71^{\circ}$

1. Углы ABD и ABC смежные, поэтому $\angle ABC = 180^{\circ} - 112^{\circ} = 68^{\circ}$ .

2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle B = \angle C = 68^{\circ}$ .

3. $\angle A = 180^{\circ} - 68^{\circ} - 68^{\circ} = 44^{\circ}$ .

Ответ: $44^{\circ}$

1. Обозначим неизвестный катет x. По теореме Пифагора $x^{2} + 6^{2} = 10^{2}$ .

2. $x^{2} = 100 - 36 = 64$ .

3. Длина положительна, поэтому $x = 8$ .

Ответ: 8

1. Катет AC лежит напротив угла $B = 30^{\circ}$ .

2. В прямоугольном треугольнике катет напротив $30^{\circ}$ равен половине гипотенузы.

3. $AC = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{18}{2} = 9$ .

Ответ: 9

1. Отрезок AM соединяет вершину прямого угла с серединой гипотенузы, значит, это медиана к гипотенузе.

2. Медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы.

3. $AM = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{26}{2} = 13$ .

Ответ: 13

1. По определению медианы точка M является серединой стороны BC, поэтому $BM = MC$ .

2. $MC = 7$ , следовательно, $BC = BM + MC = 7 + 7 = 14$ .

Ответ: 14

1. По теореме о биссектрисе $\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$ .

2. Подставим данные: $\dfrac{6}{DC} = \dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{3}$ .

3. Из пропорции $2 \cdot DC = 18$ , поэтому $DC = 9$ .

4. Проверка: более длинной стороне $AC = 15$ соответствует более длинный отрезок $DC = 9$ .

Ответ: 9

1. Высота к основанию равнобедренного треугольника является медианой, поэтому $BH = \dfrac{24}{2} = 12$ .

2. В прямоугольном треугольнике ABH: $AH^{2} = AB^{2} - BH^{2} = 13^{2} - 12^{2} = 169 - 144 = 25$ .

3. $AH = 5$ , так как длина положительна.

Ответ: 5

1. Используем формулу площади треугольника $S = \dfrac{BC \cdot AH}{2}$ .

2. $S = \dfrac{14 \cdot 9}{2} = 7 \cdot 9 = 63$ .

Ответ: 63

1. Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_{n} = a_{1} + (n - 1)d$ .

2. $a_{12} = 7 + (12 - 1) \cdot 3 = 7 + 33 = 40$ .

Ответ: 40

1. Всего равновозможных исходов $5 + 3 = 8$ .

2. Благоприятных исходов 5 - по числу белых шаров.

3. Вероятность $P = \dfrac{5}{8}$ .

Ответ: $\dfrac{5}{8}$

1. Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.

2. $S = \dfrac{10 \cdot 24}{2} = 120$ .

Ответ: 120

1. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

2. $m = \dfrac{(11 + 19)}{2} = \dfrac{30}{2} = 15$ .

Ответ: 15

1. Для двух сторон и угла между ними используем $S = \dfrac{ab \cdot \sin\gamma}{2}$ .

2. $\sin 30^{\circ} = \dfrac{1}{2}$ , поэтому $S = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot \left( \dfrac{1}{2} \right)}{2} = \dfrac{56}{4} = 14$ .

Ответ: 14

1. По теореме Пифагора квадрат второго катета равен $13^{2} - 5^{2} = 169 - 25 = 144$ .

2. Второй катет равен $\sqrt{144} = 12$ .

3. Площадь прямоугольного треугольника $S = \dfrac{5 \cdot 12}{2} = 30$ .

Ответ: 30

1. Коэффициент большого треугольника к малому равен $\dfrac{DE}{AB} = \dfrac{20}{12} = \dfrac{5}{3}$ .

2. Стороне BC соответствует EF, поэтому $EF = \dfrac{BC \cdot 5}{3} = \dfrac{9 \cdot 5}{3} = 15$ .

3. Проверка: EF больше BC, так как большой треугольник имеет коэффициент $\dfrac{5}{3} > 1$ .

Ответ: 15

1. Из $DE \parallel BC$ следует подобие треугольников ADE и ABC.

2. Коэффициент малого треугольника к большому равен $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}$ .

3. DE соответствует BC, поэтому $\dfrac{DE}{15} = \dfrac{2}{5}$ .

4. $DE = 15 \cdot \dfrac{2}{5} = 6$ .

Ответ: 6

1. Шест и дерево вертикальны, земля горизонтальна, а солнечные лучи параллельны, поэтому два прямоугольных треугольника подобны.

2. Отношение высоты к тени одинаково: $\dfrac{1,5}{2} = \dfrac{h}{12}$ .

3. $h = \dfrac{12 \cdot 1,5}{2} = 6 \cdot 1,5 = 9$ м.

Ответ: 9 м

1. Диагональ и две стороны прямоугольника образуют прямоугольный треугольник.

2. Пусть вторая сторона равна x. Тогда $x^{2} + 8^{2} = 17^{2}$ .

3. $x^{2} = 289 - 64 = 225$ , поэтому $x = 15$ .

4. Периметр $P = 2(8 + 15) = 46$ .

Ответ: 46

1. Соседние углы параллелограмма являются односторонними при параллельных сторонах и в сумме дают $180^{\circ}$ .

2. $\angle B = 180^{\circ} - 68^{\circ} = 112^{\circ}$ .

Ответ: $112^{\circ}$

1. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту.

2. $S = \dfrac{(8 + 14) \cdot 6}{2} = 22 \cdot 3 = 66$ .

Ответ: 66

1. Угол AOB является центральным и опирается на меньшую дугу AB.

2. Градусная мера центрального угла равна градусной мере его дуги.

3. Следовательно, $\angle AOB = 146^{\circ}$ .

Ответ: $146^{\circ}$

1. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

2. $\angle ACB = \dfrac{136^{\circ}}{2} = 68^{\circ}$ .

Ответ: $68^{\circ}$

1. Радиус OT перпендикулярен касательной PT, поэтому треугольник OPT прямоугольный с гипотенузой OP.

2. По теореме Пифагора $PT^{2} = OP^{2} - OT^{2} = 10^{2} - 6^{2} = 100 - 36 = 64$ .

3. $PT = 8$ .

Ответ: 8

1. Для пересекающихся хорд произведения частей равны: $AE \cdot EB = CE \cdot ED$ .

2. $3 \cdot 8 = 4 \cdot ED$ .

3. $24 = 4 \cdot ED$ , поэтому $ED = 6$ .

Ответ: 6

1. Вписанный четырёхугольник имеет сумму противоположных углов $180^{\circ}$ .

2. Углы A и C противоположные, поэтому $\angle C = 180^{\circ} - 72^{\circ} = 108^{\circ}$ .

Ответ: $108^{\circ}$

1. Найдём производную: $f\prime(x) = 2x - 6$ .

2. Критическая точка: $2x - 6 = 0$ , откуда $x = 3$ .

3. Производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому $x = 3$ - точка минимума.

4. $f(3) = 3^{2} - 6 \cdot 3 + 5 = 9 - 18 + 5 = - 4$ .

Ответ: $x = 3$ ; $f_{\min} = - 4$

1. Из координат конца вычитаем координаты начала в порядке $B - A$ : $\overrightarrow{AB} = \left( 4 - ( - 2);5 - 1 \right) = (6;4)$ .

2. Длина вектора $|AB| = \sqrt{6^{2} + 4^{2}} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ .

Ответ: $\overrightarrow{AB} = (6;4)$ ; $|AB| = 2\sqrt{13}$

1. Площадь через сторону AB и высоту к ней: $S = 13 \cdot 8 = 104$ .

2. Та же площадь через сторону AD: $S = AD \cdot h_{AD}$ .

3. $104 = 10 \cdot h_{AD}$ , поэтому $h_{AD} = 10,4$ .

Ответ: $S = 104$ ; $h_{AD} = 10,4$

1. Отношение площадей равно квадрату отношения соответствующих длин.

2. Коэффициент длин малого треугольника к большому равен $\sqrt{\dfrac{25}{49}} = \dfrac{5}{7}$ .

3. Периметры относятся так же, как длины: $\dfrac{P_{\text{мал}}}{P_{\text{бол}}} = \dfrac{5}{7}$ .

4. $P_{\text{мал}} = 84 \cdot \dfrac{5}{7} = 12 \cdot 5 = 60$ .

Ответ: 60

1. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.

2. Половины диагоналей равны 8 и 15 и являются катетами прямоугольного треугольника со стороной ромба в качестве гипотенузы.

3. $a = \sqrt{8^{2} + 15^{2}} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$ .

4. Периметр ромба $P = 4a = 4 \cdot 17 = 68$ .

Ответ: 68

1. После проведения высот крайние отрезки на большем основании равны половине разности оснований.

2. Горизонтальный катет равен $\dfrac{(20 - 8)}{2} = 6$ .

3. В прямоугольном треугольнике высота $h = \sqrt{10^{2} - 6^{2}} = \sqrt{64} = 8$ .

4. Площадь $S = \dfrac{(20 + 8) \cdot 8}{2} = 28 \cdot 4 = 112$ .

Ответ: $h = 8$ ; $S = 112$

1. Для касательной и секущей $PT^{2} = PA \cdot PB$ , где PB - вся секущая от P до дальней точки B.

2. $6^{2} = 4 \cdot PB$ , поэтому $PB = \dfrac{36}{4} = 9$ .

3. Внутренний отрезок $AB = PB - PA = 9 - 4 = 5$ .

4. Проверка: $4 \cdot (4 + 5) = 36 = 6^{2}$ .

Ответ: 5