Урок 19. Векторы и координаты

01. Координаты точки и координаты вектора

Точка задаёт положение, вектор - перемещение. Для вектора от $A$ к $B$ всегда вычитают координаты начала из координат конца: $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)$. При смене направления оба знака меняются, а длина остаётся прежней.

Если $A=(-2;1)$, а $B=(4;5)$, перемещение равно $(6;4)$. Проверка сложением возвращает конец: $(-2;1)+(6;4)=(4;5)$. Это надёжнее запоминания разности без указания направления.

02. Как связаны основные формулы

Длина $\sqrt{x^2+y^2}$ получается из теоремы Пифагора. Середина отрезка имеет координаты, равные средним арифметическим координат концов. Умножение вектора на число умножает обе координаты; отрицательный множитель разворачивает направление.

Скалярное произведение $a_xb_x+a_yb_y$ - число, а не вектор. Оно также равно $|a||b|\cos\varphi$. Для ненулевых векторов нулевое произведение означает прямой угол; положительное - угол от 0° до 90° без 90°, отрицательное - угол больше 90° и не больше 180°. Угол с нулевым вектором не определяют, поскольку пришлось бы делить на нулевую длину.

03. Коллинеарность без деления на ноль

Векторы коллинеарны, если один пропорционален другому. На плоскости проверка $a_xb_y-a_yb_x=0$ удобнее отношения координат: она работает и при нулевой координате. Для ненулевых коллинеарных векторов положительный коэффициент означает одинаковое направление, отрицательный - противоположное.

Модуль выражения $a_xb_y-a_yb_x$ равен площади параллелограмма на этих векторах; половина модуля - площади соответствующего треугольника. Для треугольника по трём точкам сначала постройте два вектора из одной вершины. Вычитание координат устраняет зависимость результата от выбора начала отсчёта.

Проверка по рисунку помогает заметить знак и порядок координат, но числа берут из подписей и условий. Масштаб осей не всегда одинаков.

04. Вектор как направленный отрезок и его координаты

Вектор - это направленный отрезок. У него есть начало, конец, длина и направление. Запись AB со стрелкой означает вектор, который начинается в точке A и заканчивается в точке B. Вектор BA направлен в противоположную сторону. На рисунке эти отрезки лежат на одной прямой и имеют одинаковую длину, но как векторы они не равны: их направления противоположны.

На координатной плоскости вектор удобно описывать парой чисел. Если $A\left( x_{1};y_{1} \right)$, $B\left( x_{2};y_{2} \right)$, то координаты вектора AB равны $\left( x_{2} - x_{1};y_{2} - y_{1} \right)$. Всегда вычитаем координаты начала из координат конца. Фраза «из конца вычесть начало» должна сопровождать каждое первое решение, пока порядок не станет автоматическим.

Например, для $A( - 2;1)$ и $B(4;5)$ получаем $\overrightarrow{AB} = \left( 4 - ( - 2);5 - 1 \right) = (6;4)$. Первая координата показывает перемещение на 6 единиц вправо, вторая - на 4 единицы вверх. Если координата отрицательна, движение направлено влево или вниз. Такой геометрический смысл помогает проверить знаки без повторного вычисления.

• $\overrightarrow{AB} = \left( x_{B} - x_{A};y_{B} - y_{A} \right)$: из конца вычесть начало.

• Равные векторы имеют одинаковые пары координат.

• Противоположный к $(p;q)$ вектор равен $( - p; - q)$.

• Если $B = A + a$, то $A = B - a$.

05. Длина вектора и расстояние между точками

Длина вектора $\overrightarrow{a} = (x;y)$ находится по теореме Пифагора: $\left| \overrightarrow{a} \right| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$. Модули координат вектора являются длинами катетов прямоугольного треугольника, а сам направленный отрезок - гипотенузой. Знаки координат при возведении в квадрат исчезают, поэтому длина не бывает отрицательной и не зависит от того, в какую сторону направлен вектор.

Для вектора $(3;4)$ длина равна $\sqrt{9 + 16} = 5$. Полезно узнавать пифагоровы тройки 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17: они ускоряют вычисления. Если сумма квадратов не является полным квадратом, ответ оставляют с корнем и при необходимости выносят квадратный множитель. Например, $\sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}$.

Расстояние между точками A и B - это длина вектора AB. Сначала находим разности координат, затем применяем формулу: $AB = \sqrt{\left( x_{B} - x_{A} \right)^{2} + \left( y_{B} - y_{A} \right)^{2}}$. Порядок вычитания для длины не влияет на результат из-за квадратов, но лучше сохранять правило «конец минус начало», чтобы не разрушать навык для последующих операций.

• $\left| (x;y) \right| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$.

• $AB = \sqrt{\left( x_{B} - x_{A} \right)^{2} + \left( y_{B} - y_{A} \right)^{2}}$.

• Длина всегда неотрицательна и одинакова у противоположных векторов.

• Из уравнения $x^{2} = c$ при $c > 0$ получаются два значения $x = \pm \sqrt{c}$.

Разбор 1. Координаты и длина вектора по двум точкам

Условие. На координатной плоскости даны точки $A( - 2;1)$ и $B(4;5)$. Найдите координаты вектора AB и его длину.

Решение

1. Выпишем начало и конец каждого направленного отрезка и только затем перейдём к координатам.

2. Из координат конца B вычитаем координаты начала A: $\overrightarrow{AB} = \left( 4 - ( - 2);5 - 1 \right) = (6;4)$.

3. $|AB| = \sqrt{6^{2} + 4^{2}} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$.

4. По рисунку перемещение действительно идёт на 6 вправо и на 4 вверх.

Ответ: $\overrightarrow{AB} = (6;4)$, $|AB| = 2\sqrt{13}$

06. Сложение, вычитание и умножение вектора на число

Векторы складывают по координатам: $\left( x_{1};y_{1} \right) + \left( x_{2};y_{2} \right) = \left( x_{1} + x_{2};y_{1} + y_{2} \right)$. Геометрически действует правило треугольника: второй вектор переносят так, чтобы его начало совпало с концом первого, а сумма ведёт от начала первого к концу второго. Правило параллелограмма даёт ту же сумму, если оба вектора выходят из одной точки.

Вычитание также выполняют по координатам: $a - b = \left( x_{a} - x_{b};y_{a} - y_{b} \right)$. Геометрически это сложение с противоположным вектором: $a - b = a + ( - b)$. При записи важно поставить скобки, если координата вычитаемого отрицательна. Например, $3 - ( - 2) = 5$, а не 1.

При умножении на число k обе координаты умножаются на k: $k(x;y) = (kx;ky)$. При $k > 0$ направление сохраняется, при $k < 0$ меняется на противоположное, а длина умножается на $|k|$. Вектор 3a в три раза длиннее a, вектор −2a в два раза длиннее и направлен обратно.

• $\left( x_{1};y_{1} \right) + \left( x_{2};y_{2} \right) = \left( x_{1} + x_{2};y_{1} + y_{2} \right)$.

• $\left( x_{1};y_{1} \right) - \left( x_{2};y_{2} \right) = \left( x_{1} - x_{2};y_{1} - y_{2} \right)$.

• $k(x;y) = (kx;ky)$, а $|ka| = |k| \cdot |a|$.

• Результирующее перемещение и пройденный путь - разные величины.

07. Середина отрезка, перенос и координатная геометрия

Координаты середины M отрезка AB равны средним арифметическим координат концов: $M\left( \dfrac{\left( x_{A} + x_{B} \right)}{2};\dfrac{\left( y_{A} + y_{B} \right)}{2} \right)$. Формула понятна как половина перемещения от A к B. Сначала можно найти AB, взять половину вектора и прибавить к A. Оба способа дают одну точку и служат взаимной проверкой.

Если известны середина M и один конец A, второй конец B находят из равенств $x_{B} = 2x_{M} - x_{A}$ и $y_{B} = 2y_{M} - y_{A}$. Геометрически от M до B нужно пройти тем же вектором, что от A до M. Такой приём используется при центральной симметрии и восстановлении диагонали параллелограмма.

В параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам. Поэтому середины AC и BD совпадают. Если даны три последовательные вершины A, B, C, четвёртая вершина D находится по векторному равенству $AD = BC$ или по формуле $D = A + C - B$. Порядок вершин принципиален: формула предполагает обход A-B-C-D.

• $M_{AB} = \left( \dfrac{\left( x_{A} + x_{B} \right)}{2};\dfrac{\left( y_{A} + y_{B} \right)}{2} \right)$.

• Если известны M и A, то $B = 2M - A$.

• Для последовательных вершин параллелограмма $D = A + C - B$.

• При переносе на $(p;q)$ к координатам каждой точки прибавляют p и q.

08. Скалярное произведение и перпендикулярность

Скалярное произведение векторов $\overrightarrow{a} = \left( x_{1};y_{1} \right)$ и $\overrightarrow{b} = \left( x_{2};y_{2} \right)$ равно числу $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}$. Это не новый вектор, а число. В вычислении сначала перемножают соответствующие координаты, затем складывают два произведения. Знаки особенно важны: произведение чисел разных знаков отрицательно.

Скалярное произведение связано с углом: $a \cdot b = |a||b|\cos\alpha$. Если ненулевые векторы перпендикулярны, $\alpha = 90^{\circ}$, $\cos\alpha = 0$, поэтому $a \cdot b = 0$. Обратно, если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, векторы перпендикулярны. Это быстрый координатный тест прямого угла.

Например, $\overrightarrow{a} = (2;3)$, $\overrightarrow{b} = ( - 6;4)$. Получаем $a \cdot b = 2 \cdot ( - 6) + 3 \cdot 4 = - 12 + 12 = 0$. Значит, векторы перпендикулярны. Чертёж должен показывать один общий начальный пункт и прямой угол между направлениями; одиночная стрелка не иллюстрирует эту задачу.

• $\left( x_{1};y_{1} \right) \cdot \left( x_{2};y_{2} \right) = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}$.

• Ненулевые векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно 0.

• Положительное произведение соответствует углу меньше 90°, отрицательное углу больше 90°. У сонаправленных векторов угол равен 0°, у противоположно направленных 180°.

• При параметре составить уравнение $a \cdot b = 0$ и проверить подстановкой.

Разбор 4. Проверка перпендикулярности

Условие. Даны ненулевые векторы $\overrightarrow{a} = (2;3)$ и $\overrightarrow{b} = ( - 6;4)$. Докажите, что они перпендикулярны.

Решение

1. Вычислим скалярное произведение заданных ненулевых векторов.

2. Вычисляем скалярное произведение: $a \cdot b = 2 \cdot ( - 6) + 3 \cdot 4$.

3. $a \cdot b = - 12 + 12 = 0$.

4. Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю, поэтому $\overrightarrow{a}\bot\overrightarrow{b}$.

Ответ: $\overrightarrow{a}\bot\overrightarrow{b}$

Проверка. оба вектора ненулевые; на координатном эскизе направления образуют прямой угол, что согласуется с нулевым скалярным произведением.

09. Угол, коллинеарность и площадь по координатам

Косинус угла между ненулевыми векторами вычисляют по формуле $\cos\alpha = \dfrac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} \right|\,\left| \overrightarrow{b} \right|}$. Порядок действий важен: отдельно находим скалярное произведение, отдельно две длины, затем делим. Значение косинуса обязано лежать от −1 до 1. Если дробь вышла больше 1 по модулю, ошибка находится в длине или произведении.

Для узнаваемых углов достаточно таблицы: $\cos 0^{\circ} = 1$, $\cos 30^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 45^{\circ} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 60^{\circ} = \dfrac{1}{2}$, $\cos 90^{\circ} = 0$, $\cos 120^{\circ} = - \dfrac{1}{2}$, $\cos 180^{\circ} = - 1$. Если значение не табличное, в задачах часто просят сам косинус, а не градусную меру.

Векторы коллинеарны, если лежат на одной или параллельных прямых. В координатах один вектор должен быть числовым множителем другого: $b = ka$. Например, $( - 6;9) = - 3(2; - 3)$, поэтому векторы коллинеарны и направлены противоположно. Делить координаты неудобно при нуле; безопаснее проверить равенство $x_{1}y_{2} - y_{1}x_{2} = 0$.

• $\cos\alpha = \dfrac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} \right|\,\left| \overrightarrow{b} \right|}$, где оба вектора ненулевые.

• Коллинеарность: $x_{1}y_{2} - y_{1}x_{2} = 0$.

• $S_{\text{параллелограмма}} = \left| x_{1}y_{2} - y_{1}x_{2} \right|$.

• Для угла при A использовать векторы AB и AC с общим началом A.

Разбор 5. Угол между векторами

Условие. Даны векторы $\overrightarrow{a} = \left( \sqrt{3};1 \right)$ и $\overrightarrow{b} = \left( \sqrt{3}; - 1 \right)$. Найдите угол между ними.

Решение

1. $a \cdot b = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + 1 \cdot ( - 1) = 3 - 1 = 2$.

2. $\left| \overrightarrow{a} \right| = \sqrt{3 + 1} = 2$; $\left| \overrightarrow{b} \right| = \sqrt{3 + 1} = 2$.

3. $\cos\alpha = \dfrac{2}{(2 \cdot 2)} = \dfrac{1}{2}$.

4. Для угла от $0^{\circ}$ до $180^{\circ}$ равенство $\cos\alpha = \dfrac{1}{2}$ даёт $\alpha = 60^{\circ}$.

Ответ: $60^{\circ}$

Проверка. скалярное произведение положительно, поэтому угол должен быть острым; $60^{\circ}$ действительно лежит между $0^{\circ}$ и $90^{\circ}$.

10. Единый алгоритм и контроль рисунка

Перед решением определите, какой объект нужен: координаты вектора, длина, сумма, середина, скалярное произведение, косинус или площадь. Затем перепишите координаты точек в одну строку и только после этого подставляйте в формулу. Такой порядок предотвращает смешение формул длины и середины, которые обе содержат пары координат, но выполняют разные действия.

Типичная ошибка в AB - вычесть конец из начала. Коррекция: проговорить «иду из A в B» и проверить направление по клеткам. Вторая ошибка - забыть возвести обе координаты в квадрат при длине. Третья - получить вектор вместо числа в скалярном произведении. Четвёртая - признать перпендикулярность по рисунку без проверки нулевого произведения.

• Назвать искомый объект → выбрать формулу → выполнить действия по координатам → проверить геометрический смысл.

• Каждый многошаговый результат получает отдельное обозначение.

• Рисунок обязан иметь правильные оси, масштаб, точки, направления и числа.

• Нельзя доказывать равенство, коллинеарность или перпендикулярность только внешним видом схемы.

• Косинус проверять по диапазону $\lbrack - 1;1\rbrack$, длину и площадь - по неотрицательности.

11. Типичные ошибки и способы их остановить

• Вычитают координаты начала из конца в одной координате и наоборот в другой.

• Путают точку $(x;y)$ и свободный вектор с координатами $(x;y)$.

• Забывают квадратный корень в формуле длины.

• Складывают длины вместо соответствующих координат векторов.

• Считают нулевое скалярное произведение признаком параллельности.

• Находят $\cos$ угла, но не проверяют его знак и тип угла по рисунку.

12. Дополнительные разборы

Разбор 6. Скалярное произведение по рисунку

УСЛОВИЕ

По координатной сетке на рисунке найдите скалярное произведение векторов a и b.

КОРОТКОЕ ПРАВИЛО.

Координаты свободного вектора равны приращениям: конец минус начало.

ДО РЕШЕНИЯ.

Сначала читаем по клеткам горизонтальное и вертикальное смещения каждого вектора.

1. Читаем вектор a

   $$\overrightarrow{a} = (3 - 1;\, 4 - 1) = (2;3)$$

   Он смещается на 2 клетки вправо и на 3 вверх.

2. Читаем вектор b

   $$\overrightarrow{b} = (5 - 3;\, 2 - 3) = (2; - 1)$$

   Он смещается на 2 клетки вправо и на 1 вниз.

3. Вычисляем произведение

   $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2 \cdot 2 + 3 \cdot ( - 1) = 1$$

   Перемножаем одноимённые координаты и складываем.

Проверка. Произведение небольшое положительное: угол между векторами острый, но близок к прямому.

Типичная ошибка. Считать координатами вектора координаты его конца, не вычитая начало.

ОТВЕТ.

$$1$$

Разбор 8. Длина суммы по координатной сетке

УСЛОВИЕ

По координатной сетке на рисунке найдите длину вектора a+b.

КОРОТКОЕ ПРАВИЛО.

Сначала читаем координаты обоих векторов, затем складываем и применяем теорему Пифагора.

ДО РЕШЕНИЯ.

Оба вектора направлены вправо и вверх, поэтому обе координаты суммы положительны.

1. Читаем a

   $$\overrightarrow{a} = (3 - 1;\, 5 - 1) = (2;4)$$

   Две клетки вправо и четыре вверх.

2. Читаем b

   $$\overrightarrow{b} = (6 - 2;\, 5 - 1) = (4;4)$$

   Четыре клетки вправо и четыре вверх.

3. Складываем

   $$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (6;8)$$

   Суммируем одноимённые координаты.

4. Находим длину

   $$\left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right| = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = 10$$

   Получаем треугольник 6-8-10.

Проверка. Длина 10 меньше суммы длин исходных векторов и больше каждой их проекции.

Типичная ошибка. Сложить длины векторов вместо их координат.

ОТВЕТ.

$$10$$

13. Вопрос по теме

Почему из координат конца вычитают координаты начала?

Вектор описывает перемещение от начала к концу. Поэтому к координатам начала нужно прибавить найденные разности, чтобы получить конец. При обратном направлении обе координаты меняют знак.

14. Самостоятельная работа

В тесте 40 заданий. Начните с заданий 1-20, затем переходите к 21-35 и 36-40. Решите самостоятельно и только после этого откройте объяснение. Задания на повторение отмечены отдельно.

Перейти к тестовым заданиям урока 19