Урок 19. Тестовые задания (40 вопросов)

10.10.2026 - Яна -

Математика
ЕГЭ
Профиль
Тесты

01. Начальный уровень: задания 1-20

Изучить теорию Задания в PDF Ответы и решения в PDF

Содержание

Начальный уровень: задания 1-20
Средний уровень: задания 21-35
Повышенный уровень: задания 36-40

Задание 1

Даны точки $A(1;2)$ и $B(5;7)$ . Найдите координаты вектора AB.

Ответ и решение к заданию 1

1. $\overrightarrow{AB} = (5 - 1;7 - 2) = (4;5)$ .

Ответ: $(4;5)$

Задание 2

Даны точки $A( - 3;4)$ и $B(2; - 1)$ . Найдите координаты вектора AB.

Ответ и решение к заданию 2

1. $\overrightarrow{AB} = \left( 2 - ( - 3); - 1 - 4 \right) = (5; - 5)$ .

Ответ: $(5; - 5)$

Задание 3

Дан вектор $\overrightarrow{a} = ( - 4;6)$ . Найдите координаты противоположного вектора −a.

Ответ и решение к заданию 3

1. Меняем знаки обеих координат.

2. $- a = (4; - 6)$ .

Ответ: $(4; - 6)$

Задание 4

Вектор AB имеет координаты (3; −2), точка C имеет координаты (−1; 5). Найдите координаты точки D, если векторы CD и AB равны.

Ответ и решение к заданию 4

1. К точке C прибавляем вектор $(3; - 2)$ .

2. $D = ( - 1 + 3;5 - 2) = (2;3)$ .

Ответ: $D(2;3)$

Задание 5

Найдите длину вектора $\overrightarrow{a} = (3;4)$ .

Ответ и решение к заданию 5

1. $\left| \overrightarrow{a} \right| = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5$ .

Ответ: 5

Задание 6

Найдите длину вектора $\overrightarrow{b} = ( - 5;12)$ .

Ответ и решение к заданию 6

1. $\left| \overrightarrow{b} \right| = \sqrt{( - 5)^{2} + 12^{2}} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ .

Ответ: 13

Задание 7

Найдите расстояние между точками $P( - 1; - 2)$ и $Q(2;2)$ .

Ответ и решение к заданию 7

1. $\overrightarrow{PQ} = \left( 2 - ( - 1);2 - ( - 2) \right) = (3;4)$ .

2. $|PQ| = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$ .

Ответ: 5

Задание 8

Повторение: вероятность, прогрессии, движение и производная.

Два честных игральных кубика бросают независимо. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков не меньше 10.

Ответ и решение к заданию 8

1. Всего 36 равновозможных упорядоченных исходов.

2. Подходят $(4;6)$ , $(5;5)$ , $(6;4)$ , $(5;6)$ , $(6;5)$ , $(6;6)$ - шесть исходов.

3. $P = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$ .

Ответ: $\dfrac{1}{6}$

Задание 9

Даны векторы $\overrightarrow{a} = (2; - 3)$ и $\overrightarrow{b} = (4;1)$ . Найдите $a + b$ .

Ответ и решение к заданию 9

1. $a + b = (2 + 4; - 3 + 1) = (6; - 2)$ .

Ответ: $(6; - 2)$

Задание 10

Даны векторы $\overrightarrow{c} = (5;2)$ и $\overrightarrow{d} = ( - 1;4)$ . Найдите $c - d$ .

Ответ и решение к заданию 10

1. $c - d = \left( 5 - ( - 1);2 - 4 \right) = (6; - 2)$ .

Ответ: $(6; - 2)$

Задание 11

Дан вектор $\overrightarrow{a} = ( - 2;5)$ . Найдите 3a.

Ответ и решение к заданию 11

1. Умножаем обе координаты на 3.

2. $3a = ( - 6;15)$ .

Ответ: $( - 6;15)$

Задание 12

Даны $\overrightarrow{a} = (3;1)$ , $\overrightarrow{b} = ( - 2;4)$ . Найдите $2a - b$ .

Ответ и решение к заданию 12

1. $2a = (6;2)$ .

2. $2a - b = \left( 6 - ( - 2);2 - 4 \right) = (8; - 2)$ .

Ответ: $(8; - 2)$

Задание 13

Точка $A(1; - 2)$ , вектор $\overrightarrow{AB} = (5;3)$ . Найдите координаты точки B.

Ответ и решение к заданию 13

1. $B = A + AB$ .

2. $B = (1 + 5; - 2 + 3) = (6;1)$ .

Ответ: $B(6;1)$

Задание 14

Точка $B(4;5)$ , вектор $\overrightarrow{AB} = ( - 3;2)$ . Найдите координаты точки A.

Ответ и решение к заданию 14

1. $A = B - AB$ .

2. $A = \left( 4 - ( - 3);5 - 2 \right) = (7;3)$ .

Ответ: $A(7;3)$

Задание 15

Найдите середину отрезка с концами $A( - 2;4)$ и $B(6; - 8)$ .

Ответ и решение к заданию 15

1. $x_{M} = \dfrac{( - 2 + 6)}{2} = 2$ .

2. $y_{M} = \dfrac{(4 - 8)}{2} = - 2$ .

Ответ: $M(2; - 2)$

Задание 16

Повторение: вероятность, прогрессии, движение и производная.

В геометрической прогрессии $b_{1} = 3$ , $q = 2$ . Найдите $b_{5}$ .

Ответ и решение к заданию 16

1. $b_{5} = b_{1}q^{4}$ .

2. $b_{5} = 3 \cdot 2^{4} = 3 \cdot 16 = 48$ .

Ответ: 48

Задание 17

Точка $M(4; - 1)$ - середина отрезка AB, $A(1;3)$ . Найдите координаты B.

Ответ и решение к заданию 17

1. $B = 2M - A$ .

2. $x_{B} = 8 - 1 = 7$ ; $y_{B} = - 2 - 3 = - 5$ .

Ответ: $B(7; - 5)$

Задание 18

$A(0;1)$ , $B(3;2)$ , $C(5;6)$ - три последовательные вершины параллелограмма ABCD. Найдите D.

Ответ и решение к заданию 18

1. $D = A + C - B$ .

2. $D = (0 + 5 - 3;1 + 6 - 2) = (2;5)$ .

Ответ: $D(2;5)$

Задание 19

Точки $A(0;0)$ , $B(3;0)$ , $C(3;4)$ - вершины треугольника. Найдите его периметр.

Ответ и решение к заданию 19

1. $AB = 3$ , $BC = 4$ .

2. $AC = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$ .

3. Периметр $3 + 4 + 5 = 12$ .

Ответ: 12

Задание 20

Найдите скалярное произведение векторов $\overrightarrow{a} = (2; - 1)$ и $\overrightarrow{b} = (3;4)$ .

Ответ и решение к заданию 20

1. $a \cdot b = 2 \cdot 3 + ( - 1) \cdot 4 = 6 - 4 = 2$ .

Ответ: 2

02. Средний уровень: задания 21-35

Задание 21

Найдите скалярное произведение векторов $\overrightarrow{a} = ( - 3;5)$ и $\overrightarrow{b} = (2; - 4)$ .

Ответ и решение к заданию 21

1. $a \cdot b = ( - 3) \cdot 2 + 5 \cdot ( - 4) = - 6 - 20 = - 26$ .

Ответ: −26

Задание 22

При каком y векторы $\overrightarrow{a} = (4;y)$ и $\overrightarrow{b} = (3; - 2)$ перпендикулярны?

Ответ и решение к заданию 22

1. Для перпендикулярности $a \cdot b = 0$ .

2. $4 \cdot 3 + y \cdot ( - 2) = 0$ .

3. $12 - 2y = 0$ , $y = 6$ .

Ответ: 6

Задание 23

При каком k векторы $\overrightarrow{a} = (k;3)$ и $\overrightarrow{b} = (6; - 4)$ перпендикулярны?

Ответ и решение к заданию 23

1. $6k + 3 \cdot ( - 4) = 0$ .

2. $6k - 12 = 0$ , $k = 2$ .

Ответ: 2

Задание 24

Найдите угол между векторами $\overrightarrow{a} = (1;0)$ и $\overrightarrow{b} = \left( 1;\sqrt{3} \right)$ .

Ответ и решение к заданию 24

1. $a \cdot b = 1$ .

2. $|a| = 1$ , $\left| \overrightarrow{b} \right| = \sqrt{1 + 3} = 2$ .

3. $\cos\alpha = \dfrac{1}{2}$ , поэтому $\alpha = 60^{\circ}$ .

Ответ: $60^{\circ}$

Задание 25

Найдите угол между векторами $\overrightarrow{a} = (1;1)$ и $\overrightarrow{b} = ( - 1;1)$ .

Ответ и решение к заданию 25

1. $a \cdot b = - 1 + 1 = 0$ .

2. Ненулевые векторы со скалярным произведением 0 перпендикулярны.

3. Угол равен $90^{\circ}$ .

Ответ: $90^{\circ}$

Задание 26

Определите, коллинеарны ли векторы $\overrightarrow{a} = (2; - 3)$ и $\overrightarrow{b} = ( - 6;9)$ .

Ответ и решение к заданию 26

1. $b = - 3a$ , так как $- 3 \cdot 2 = - 6$ и $- 3 \cdot ( - 3) = 9$ .

2. Векторы коллинеарны и направлены противоположно.

Ответ: да, коллинеарны

Задание 27

Повторение: вероятность, прогрессии, движение и производная.

Собственная скорость лодки 12 км/ч, скорость течения 2 км/ч. За сколько часов лодка пройдёт 30 км по течению?

Ответ и решение к заданию 27

1. Скорость по течению $12 + 2 = 14$ км/ч.

2. $t = \dfrac{30}{14} = \dfrac{15}{7}$ ч.

Ответ: $\dfrac{15}{7}$ ч

Задание 28

Вектор $\overrightarrow{a} = (x;6)$ имеет длину 10. Найдите все значения x.

Ответ и решение к заданию 28

1. $x^{2} + 6^{2} = 10^{2}$ .

2. $x^{2} + 36 = 100$ , $x^{2} = 64$ .

3. $x = - 8$ или $x = 8$ .

Ответ: −8; 8

Задание 29

Точка $P(x;4)$ находится на расстоянии 5 от начала координат. Найдите все значения x.

Ответ и решение к заданию 29

1. $OP^{2} = x^{2} + 4^{2} = 25$ .

2. $x^{2} = 9$ .

3. $x = - 3$ или $x = 3$ .

Ответ: −3; 3

Задание 30

В треугольнике $A( - 2;0)$ , $B(4;0)$ , $C(1;6)$ найдите длину медианы, проведённой из C к стороне AB.

Ответ и решение к заданию 30

1. Середина AB: $M\left( \dfrac{( - 2 + 4)}{2};0 \right) = (1;0)$ .

2. $\overrightarrow{CM} = (1 - 1;0 - 6) = (0; - 6)$ .

3. $|CM| = 6$ .

Ответ: 6

Задание 31

Диагональ AC параллелограмма имеет концы $A( - 1;2)$ и $C(7; - 4)$ . Найдите точку пересечения диагоналей.

Ответ и решение к заданию 31

1. Диагонали параллелограмма делятся пополам.

2. $M = \left( \dfrac{( - 1 + 7)}{2};\dfrac{(2 - 4)}{2} \right) = (3; - 1)$ .

Ответ: $M(3; - 1)$

Задание 32

Точку $P(4; - 2)$ перенесли на вектор $\overrightarrow{a} = ( - 3;5)$ . Найдите координаты образа $P_{1}$ .

Ответ и решение к заданию 32

1. $P_{1} = P + a$ .

2. $P_{1} = (4 - 3; - 2 + 5) = (1;3)$ .

Ответ: $P_{1}(1;3)$

Задание 33

Объект сначала переместился на вектор $\overrightarrow{a} = (6;8)$ , затем на $\overrightarrow{b} = ( - 2;1)$ . Найдите итоговый вектор и его длину.

Ответ и решение к заданию 33

1. $a + b = (6 - 2;8 + 1) = (4;9)$ .

2. $|a + b| = \sqrt{4^{2} + 9^{2}} = \sqrt{97}$ .

Ответ: $(4;9)$ , длина $\sqrt{97}$

Задание 34

Повторение: вероятность, прогрессии, движение и производная.

Для функции $f(x) = x^{3} - 3x$ найдите $f\prime(2)$ .

Ответ и решение к заданию 34

1. $f\prime(x) = 3x^{2} - 3$ .

2. $f\prime(2) = 3 \cdot 4 - 3 = 9$ .

Ответ: 9

Задание 35

В прямоугольнике $A(0;0)$ , $B(6;0)$ , $C(6;4)$ , $D(0;4)$ найдите скалярное произведение $AC \cdot BD$ .

Ответ и решение к заданию 35

1. $\overrightarrow{AC} = (6;4)$ .

2. $\overrightarrow{BD} = (0 - 6;4 - 0) = ( - 6;4)$ .

3. $AC \cdot BD = 6 \cdot ( - 6) + 4 \cdot 4 = - 36 + 16 = - 20$ .

Ответ: −20

03. Повышенный уровень: задания 36-40

Задание 36

При каком k векторы $\overrightarrow{a} = (k;6)$ и $\overrightarrow{b} = (4; - 8)$ коллинеарны?

Ответ и решение к заданию 36

1. Условие коллинеарности: $k \cdot ( - 8) - 6 \cdot 4 = 0$ .

2. $- 8k - 24 = 0$ .

3. $k = - 3$ .

Ответ: −3

Задание 37

Найдите косинус угла между векторами $\overrightarrow{a} = (3;4)$ и $\overrightarrow{b} = (4;3)$ .

Ответ и решение к заданию 37

1. $a \cdot b = 3 \cdot 4 + 4 \cdot 3 = 24$ .

2. $|a| = |b| = 5$ .

3. $\cos\alpha = \dfrac{24}{(5 \cdot 5)} = \dfrac{24}{25}$ .

Ответ: $\dfrac{24}{25}$

Задание 38

В треугольнике $A(0;0)$ , $B(5;0)$ , $C\left( 2;\sqrt{21} \right)$ найдите косинус угла BAC.

Ответ и решение к заданию 38

1. $\overrightarrow{AB} = (5;0)$ , $\overrightarrow{AC} = \left( 2;\sqrt{21} \right)$ .

2. $AB \cdot AC = 10$ .

3. $|AB| = 5$ , $|AC| = \sqrt{4 + 21} = 5$ .

4. $\cos\angle BAC = \dfrac{10}{25} = \dfrac{2}{5}$ .

Ответ: $\dfrac{2}{5}$

Задание 39

На векторах $\overrightarrow{a} = (4;1)$ и $\overrightarrow{b} = (1;3)$ построен параллелограмм. Найдите его площадь.

Ответ и решение к заданию 39

1. $S = \left| x_{a}y_{b} - y_{a}x_{b} \right|$ .

2. $S = |4 \cdot 3 - 1 \cdot 1| = |12 - 1| = 11$ .

Ответ: 11

Задание 40

$A( - 1;2)$ , $B(3;5)$ , $C(7;1)$ - три последовательные вершины параллелограмма ABCD. Найдите длину диагонали BD.

Ответ и решение к заданию 40

1. $D = A + C - B = ( - 1 + 7 - 3;2 + 1 - 5) = (3; - 2)$ .

2. $\overrightarrow{BD} = (3 - 3; - 2 - 5) = (0; - 7)$ .

3. $|BD| = 7$ .

Ответ: 7

В тесте 40 заданий: 36 по теме «Векторы и координаты», 4 на повторение (вероятность, прогрессии, движение и производная). Задания 1-20 начального уровня, 21-35 среднего, 36-40 повышенного. Сначала решите самостоятельно, затем откройте ответ и объяснение.