Урок 17. Вероятность: один опыт

01. Что считаем одним исходом

Вероятность начинается с описания случайного выбора. Если выбирают позицию в слове, одинаковые буквы на разных местах - разные исходы. Если выбирают одну из различных букв, исходы уже другие. В задании о слове «МАТЕМАТИКА» выбирают именно позицию, поэтому знаменатель равен 10.

Классическая формула $P(A)=m/n$ работает для конечного набора равновозможных исходов. Само слово «случайно» не делает любые придуманные категории равновозможными. Например, «белый» и «чёрный» - два цвета, но их вероятности не обязаны равняться половине, если шаров разных цветов разное количество.

02. Границы, дополнение и пересечение

Включительное перечисление целых чисел от $a$ до $b$ содержит $b-a+1$ число. Нуль относится к неотрицательным числам, но не к положительным; единица не является ни простым, ни составным числом. Такие определения прямо меняют число благоприятных исходов.

Событие и противоположное ему событие исчерпывают все возможности и не пересекаются. Поэтому их вероятности в сумме равны единице. Для условия «кратно 6 или 10» события могут пересекаться: кратные 30 числа попали в обе группы и должны быть вычтены один раз.

03. Вероятность и результаты наблюдений

Относительная частота вычисляется по уже собранным данным: число наступлений события делится на число опытов. Она может отличаться от вероятности модели. Частота 0,55 в серии бросков не доказывает, что вероятность орла навсегда стала 0,55.

Ожидаемое количество $Np$ - ориентир для суммы результатов, а не гарантия ровно такого числа событий. Если вопрос просит оценку, подпишите её как приблизительную. Итоговая вероятность всегда находится от 0 до 1; проценты переводятся делением на 100.

04. Случайный опыт, исход и событие

Случайным называют опыт, точный результат которого заранее неизвестен, хотя возможные результаты можно описать. Бросок кубика, выбор билета, извлечение одного шара из непрозрачного мешка - случайные опыты. Отдельный неделимый результат называют исходом. При броске обычного кубика исходами служат числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. Событие - набор исходов, удовлетворяющих условию. Событие «выпало чётное число» включает исходы 2, 4 и 6.

Один и тот же исход может входить в разные события. Исход 6 входит в события «чётное», «больше 4», «кратно 3». Поэтому сначала нужно точно перевести словесное условие в множество подходящих исходов. Слова «не меньше 4» означают 4, 5, 6, а «больше 4» - только 5, 6. Слова «нечётное» и «не чётное» в целочисленном наборе совпадают, но в других ситуациях отрицание следует формулировать особенно внимательно.

Достоверное событие имеет вероятность 1, невозможное 0. В конечной модели с равновозможными исходами остальные события имеют вероятность строго между 0 и 1. Вероятность можно записать дробью или в процентах; ответ оформляйте так, как требует условие.

• Опыт - действие; исход - один возможный результат; событие - набор подходящих исходов.

• Перед вычислением выпишите словами или числами, какие исходы благоприятны.

• Всегда должно выполняться $0 \leq P(A) \leq 1$.

• Границы в словах важны: «не меньше» включает равенство, «больше» - нет.

05. Классическая вероятность: благоприятные и все равновозможные исходы

Если все элементарные исходы равновозможны, вероятность события находят по формуле $P(A) = \dfrac{m}{n}$, где n - число всех исходов, а m - число благоприятных. У честного кубика шесть равновозможных граней. Для события «выпало число больше 4» благоприятны 5 и 6, поэтому $P = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$. Формула работает только после проверки равновозможности. Нельзя считать предметы равновозможными, если механизм выбора даёт им разные шансы.

При выборе одного предмета из хорошо перемешанного набора каждый отдельный предмет имеет одинаковый шанс. Если в коробке 5 белых и 7 синих шаров одинакового размера, всего 12 исходов на уровне отдельных шаров. Событие «синий» включает 7 исходов, поэтому вероятность $\dfrac{7}{12}$. Ошибка $\dfrac{1}{2}$ возникает, когда ученик считает цвета, а не предметы. Два названия цветов не означают два равновозможных результата: шаров каждого цвета может быть разное количество.

Сначала запишите отношение числа благоприятных исходов к числу всех исходов, затем сократите дробь. Например, 18 выигрышных билетов из 300 дают 18/300 = 3/50 = 0,06. Если требуется десятичный ответ, переведите дробь после подсчёта.

• Для равновозможных исходов $P(A) = \dfrac{m}{n}$.

• Числитель и знаменатель считают объекты одного уровня.

• Число категорий не заменяет число объектов.

• Сначала запишите дробь $\dfrac{m}{n}$, затем сократите или переведите её в десятичную.

Разбор 1. Честный кубик

Условие. Честный шестигранный кубик бросают один раз. Найдите вероятность того, что выпадет число больше 4.

Решение

1. Опишем один случайный опыт и зафиксируем полное множество равновозможных исходов.

2. Всего шесть равновозможных исходов: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

3. Условию подходят два исхода: 5 и 6.

4. $P = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$.

Ответ: $\dfrac{1}{3}$.

Проверка. $\dfrac{1}{3}$ лежит между 0 и 1; противоположное событие имеет вероятность $\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$, а сумма равна 1.

06. Противоположное событие

Событие, при котором A не произошло, называют противоположным и обозначают не-A. События A и не-A вместе охватывают все исходы и не могут произойти одновременно, поэтому $P(A) + P\left( \text{не-}A \right) = 1$. Отсюда $P\left( \text{не-}A \right) = 1 - P(A)$. Если вероятность выигрышного билета равна 0,08, вероятность не выиграть равна $1 - 0,08 = 0,92$.

Противоположное событие нужно формулировать точно. Противоположным событию «выпало число больше 4» является «выпало число не больше 4», то есть 1, 2, 3, 4. Это не только «меньше 4»: исход 4 тоже должен куда-то войти. Для события «товар бракованный» противоположное - «товар исправный» при условии, что третьего состояния нет. Перед вычитанием из единицы убедитесь, что категории действительно дополняют друг друга до всех вариантов.

Метод особенно удобен, когда в условии дана доля плохих объектов, а спрашивают хорошие, или наоборот. Если из 500 изделий 8 бракованных, можно считать хорошие напрямую: $\dfrac{492}{500}$, или через дополнение: $1 - \dfrac{8}{500} = 0,984$. Второй путь короче и показывает структуру. Однако нельзя вычитать из 100 вместо 1, если вероятность записывается десятичной дробью. Нужно работать в одной форме: $100\% - 1,6\%$ либо $1 - 0,016$.

• $P\left( \text{не-}A \right) = 1 - P(A)$.

• A и не-A должны вместе покрывать все исходы без пересечения.

• Отрицание «больше» - «не больше»; отрицание «не меньше» - «меньше».

• Не смешивайте проценты и десятичные дроби в одном вычитании.

07. Подсчёт исходов при выборе числа, буквы, даты или карты

Во многих задачах исходы не перечислены в условии, и их нужно посчитать. При случайном выборе целого числа от L до R включительно всего $R - L + 1$ чисел. Единица обязательна, потому что учитываются обе границы. От 10 до 99 включительно $99 - 10 + 1 = 90$ двузначных чисел. Чтобы посчитать кратные k, выписывают первый и последний подходящие числа или используют целые части, но для начального уровня надёжнее короткая упорядоченная запись.

При выборе буквы случайным считается одно из мест в слове, а не одна из различных букв. В слове «МАТЕМАТИКА» десять позиций; буква А встречается три раза, поэтому вероятность выбрать А равна $\dfrac{3}{10}$. Если одинаковые буквы напечатаны на отдельных одинаковых карточках, каждая карточка - отдельный исход. Считать только набор разных букв было бы неверно, потому что частота повторов влияет на шанс.

При выборе календарного месяца все двенадцать месяцев равновозможны, если это прямо сказано. Тогда событие «месяц содержит 31 день» включает семь месяцев. При выборе случайного дня года дни равновозможны, а месяцы - нет: у них разная длина. Это разные пространства исходов. Точно так же «случайная страница книги» означает равновозможные номера страниц, а не равновозможные последние цифры без проверки границ.

• Количество целых чисел от L до R включительно: $R - L + 1$.

• При выборе буквы считают позиции, включая повторы.

• Сначала назовите, что выбирают: месяц, день, страницу, карточку или число.

• Для карт используйте только состав колоды, заданный в условии.

08. Составное условие внутри одного выбора

Одно событие может задаваться несколькими признаками: число должно быть двузначным и кратным 15; карта должна быть королём червей; шар должен быть красным или синим. Опыт остаётся одним, потому что выбирается один объект. Задача сводится к точному подсчёту объектов, удовлетворяющих всему условию. Союз «и» обычно требует одновременного выполнения признаков, а союз «или» - попадания хотя бы в одну разрешённую группу.

Если группы не пересекаются, их количества можно сложить. Красные и синие шары - разные предметы, поэтому благоприятных шаров столько, сколько красных плюс синих. Если свойства пересекаются, простое сложение дважды учитывает общую часть. Среди чисел от 1 до 120 кратные 6 или 10: кратных 6 - 20, кратных 10 - 12, но кратные 30 вошли в обе группы. Их 4, поэтому благоприятных $20 + 12 - 4 = 28$.

На начальном уровне полезно выписывать небольшой набор явно. Для двузначных чисел, кратных 15, список 15, 30, 45, 60, 75, 90 даёт шесть благоприятных исходов из 90. Запись одновременно проверяет обе границы и исключает ноль. Если множество велико, используют шаг арифметической прогрессии или деление, но результат стоит проверить первым и последним элементом.

• «И» означает выполнение всех указанных признаков одним исходом.

• Непересекающиеся разрешённые группы можно сложить.

• При пересечении: количество A или $B = |A| + |B| - |A \cap B|$.

• Два названия категорий не дают автоматически вероятности $\dfrac{1}{2}$.

09. Относительная частота и оценка вероятности

Иногда вероятность не выводят из симметрии, а оценивают по результатам большого числа наблюдений. Относительная частота события равна числу его наступлений, делённому на общее число опытов. Если из 500 посеянных семян взошло 435, частота всхожести равна $\dfrac{435}{500} = 0,87$. Это эмпирическая оценка вероятности для похожих условий, а не гарантия результата каждого следующего семени.

Чем больше однородных наблюдений, тем устойчивее обычно оценка. Частота 8 успехов из 10 и 800 из 1000 в обоих случаях равна 0,8, но второй результат надёжнее отражает массовую закономерность. На уровне вычислений формула одна, однако смысл вывода различается. Нельзя объединять опыты, проведённые в существенно разных условиях, не проверив сопоставимость данных.

По оценённой вероятности можно прогнозировать ожидаемое количество событий: $N \cdot p$. Если доля обращений, заканчивающихся покупкой, около 0,18, то среди 1500 похожих обращений ожидают примерно 270 покупок. Это средний ориентир, а не обязательное точное число. Слово «примерно» важно. В задаче на вычисление ответ может быть целым, но реальный результат случайно отклоняется от прогноза.

• $\text{Относительная частота} = \dfrac{\text{число наступлений}}{\text{число наблюдений}}$.

• Ожидаемое число наступлений $\approx Np$.

• Эмпирическая частота - оценка, а не гарантия отдельного исхода.

• Число наступлений не превосходит общего числа наблюдений.

10. Алгоритм задания ЕГЭ и система проверки

Шаг 1 - подчеркнуть, что именно выбирают случайно. Шаг 2 - убедиться, что исходы равновозможны, либо понять, что дана статистическая частота. Шаг 3 - посчитать все исходы n с учётом обеих границ и повторяющихся предметов. Шаг 4 - точно сформулировать событие и посчитать m. Шаг 5 - записать $P = \dfrac{m}{n}$, сократить и привести к нужному виду. Если удобнее противоположное событие, сначала назвать его, а потом вычесть из 1.

После вычисления выполняют три проверки. Диапазон: ответ от 0 до 1. Смысл: редкое событие не должно неожиданно получить вероятность около 0,9. Счёт: m не больше n. Для десятичной дроби полезно оценить процент. Например, $\dfrac{3}{50}$ - это $6\%$, значит 0,06, а не 0,6. Одна позиция запятой меняет вероятность в десять раз и часто остаётся незамеченной без процентной оценки.

Типичные ошибки удобно связывать с коррекцией. Знаменатель равен числу категорий - вернитесь к отдельным предметам. Потеря границы - выпишите первое и последнее число. Неверное отрицание - добавьте слово «не» ко всему событию и проверьте, что исходы разделились без пропусков. Смешение процентов и дробей - переведите всё в одну форму. Сокращение до подсчёта - сначала подпишите m и n.

• Что выбирают → сколько всего → какие подходят → $\dfrac{m}{n}$ → проверка.

• Если событие проще описать через «не», используйте $1 - P(A)$.

• Проверьте границы, повторы и равновозможность до деления.

• Финальный ответ: число от 0 до 1 в формате, требуемом условием.

11. Типичные ошибки и способы их остановить

• Считают исходы равновозможными без проверки устройства опыта.

• Записывают в знаменатель число благоприятных исходов.

• Складывают пересекающиеся группы и дважды учитывают общий исход.

• Для события «не произойдёт» повторно пересчитывают случаи вместо $1 - P(A)$.

• Путают теоретическую вероятность с относительной частотой наблюдений.

• Не проверяют, что ответ лежит между 0 и 1 и дробь сокращена.

12. Дополнительные разборы

13. Вопрос по теме

Почему частота может отличаться от вероятности?

Частота описывает конкретную серию наблюдений. Из-за случайности она может отклоняться от теоретической вероятности. Чем больше наблюдений, тем надёжнее оценка при неизменной модели опыта.

14. Самостоятельная работа

В тесте 40 заданий. Начните с заданий 1-20, затем переходите к 21-35 и 36-40. Решите самостоятельно и только после этого откройте объяснение. Задания на повторение отмечены отдельно.

Перейти к тестовым заданиям урока 17