Урок 16. Прогрессии как инструмент

01. Перед изучением: номер, переход и сумма

В прогрессиях часто ошибаются не в вычислениях, а в выборе объекта. Номер $n$ сообщает место элемента; $a_n$ - значение на этом месте; $S_n$ - сумма первых $n$ значений. Фразы «за десятый день» и «за первые десять дней» требуют разных формул.

От первого члена до десятого девять переходов. Поэтому в формуле члена стоит $n-1$. Но если дано значение до первого изменения, после десяти изменений множитель применяется десять раз. Например, $N_0q^{10}$ описывает десять периодов роста от начального момента; $b_1q^9$ - десятый член ряда с первым значением $b_1$.

Проверьте формулу при $n=1$: она обязана возвращать первый член. Проверьте ещё один известный член. Это обнаруживает смещение показателя или ошибку знака разности.

02. Особые случаи и проверка суммы

Арифметическая прогрессия может убывать: отрицательная разность допустима. В геометрической прогрессии отрицательный знаменатель чередует знаки членов; из условия о положительных членах такой вариант исключается. Если при нахождении знаменателя получилось $q^2=9$, нельзя оставлять только 3 без проверки исходных ограничений.

При $q=1$ все члены одинаковы и $S_n=nb_1$. Дробную формулу суммы с делителем $q-1$ применять нельзя. При остальных значениях обе записи $b_1(q^n-1)/(q-1)$ и $b_1(1-q^n)/(1-q)$ дают один результат: у второй одновременно изменены знаки числителя и знаменателя.

Для положительных возрастающих членов сумма лежит между $na_1$ и $na_n$. В арифметической прогрессии она точно равна числу членов, умноженному на среднее первого и последнего. Проверка порядка величины помогает заметить потерянный множитель $n$.

03. Последовательность: как читать запись и замечать закономерность

Последовательность - это набор чисел, поставленных в определённом порядке. У каждого числа есть номер: первое число обозначают $a_{1}$, второе - $a_{2}$, число на месте n - $a_{n}$. Номер и значение нельзя путать. В записи $a_{7} = 19$ число 7 сообщает место члена, а 19 - его значение. Если в задаче спрашивают «каким по счёту будет число 43», неизвестен именно номер n. Если спрашивают «чему равен двадцатый член», известен номер, а неизвестно значение $a_{20}$. Эта простая языковая проверка предотвращает большую часть ошибок начинающих учеников.

Несколько первых чисел не задают продолжение однозначно. Например, после 2, 4, 6 можно поставить 8 или 10, если выбрать разные правила. В задаче должно быть указано правило или тип прогрессии.

Полезно различать два способа задания. Формула n-го члена сразу даёт любой элемент: например, $a_{n} = 3n - 1$, поэтому $a_{1} = 2$, $a_{5} = 14$. Рекуррентное правило объясняет, как получить следующий член из предыдущего: $a_{n + 1} = a_{n} + 3$. Для вычисления далёкого члена рекуррентная запись неудобна: пришлось бы выписать все промежуточные значения. Прогрессии дают возможность перейти от пошагового движения к формуле и сразу найти нужный член или сумму большого числа членов.

• $a_{n}$ - значение члена, n - его порядковый номер; это разные величины.

• Сначала установите тип связи: постоянная разность или постоянное отношение.

• Закономерность проверяют на всех данных соседних парах, а не только на первой.

• При подстановке номера обязательно заключайте отрицательные числа и выражения в скобки.

04. Арифметическая прогрессия и формула n-го члена

Арифметическая прогрессия - последовательность, в которой каждый следующий член получается прибавлением одного и того же числа d. Это число называют разностью прогрессии. Формально $a_{n + 1} = a_{n} + d$. Разность находят вычитанием предыдущего члена из следующего: $d = a_{n + 1} - a_{n}$. Порядок вычитания важен. Для ряда 14, 10, 6 имеем $d = 10 - 14 = - 4$. Если вычесть наоборот, получится 4 и направление изменения будет потеряно.

Чтобы дойти от первого члена до второго, делают один шаг d; до третьего - два шага; до n-го - $n - 1$ шагов. Отсюда $a_{n} = a_{1} + d(n - 1)$. Число шагов на единицу меньше номера члена. Типичная ошибка - написать dn. Её легко заметить проверкой $n = 1$: правильная формула должна вернуть $a_{1}$, а выражение $a_{1} + d$ даёт уже второй член. Такая подстановка - короткая и надёжная самопроверка любой полученной формулы.

Если известны два не соседних члена, разность находят по числу промежутков между их номерами. Из $a_{k}$ и $a_{m}$ следует $a_{m} - a_{k} = d(m - k)$, поэтому $d = \dfrac{\left( a_{m} - a_{k} \right)}{(m - k)}$. Например, между $a_{3}$ и $a_{8}$ не восемь и не пять членов, а пять равных шагов: $8 - 3 = 5$. После нахождения d любой из известных членов используют, чтобы восстановить $a_{1}$. Лучше затем подставить полученные $a_{1}$ и d во второй исходный член и убедиться, что он восстановился.

• $d = a_{n + 1} - a_{n}$.

• $a_{n} = a_{1} + d(n - 1)$.

• По двум членам: $d = \dfrac{\left( a_{m} - a_{k} \right)}{(m - k)}$.

• Номер члена n должен быть натуральным; дробный номер означает, что заданного значения в прогрессии нет.

Разбор 1. Восстановление арифметической прогрессии

Условие. В арифметической прогрессии $a_{3} = 11$, $a_{7} = 27$. Найдите $a_{1}$, разность d и десятый член $a_{10}$.

Решение

1. Между третьим и седьмым членами $7 - 3 = 4$ одинаковых шага.

2. $a_{7} - a_{3} = 4d$, поэтому $27 - 11 = 4d$ и $d = 4$.

3. $a_{3} = a_{1} + 2d$: $11 = a_{1} + 8$, откуда $a_{1} = 3$.

4. $a_{10} = a_{1} + 9d = 3 + 36 = 39$.

5. $a_{7} = 3 + 6 \cdot 4 = 27$, исходные данные восстановлены.

Ответ: $a_{1} = 3$; $d = 4$; $a_{10} = 39$.

05. Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Сумму первых n членов обозначают $S_{n} = a_{1} + a_{2} + \ldots + a_{n}$. Складывать десятки членов по одному долго и опасно. В арифметической прогрессии первый и последний члены дают ту же сумму, что второй и предпоследний: $a_{1} + a_{n} = a_{2} + a_{n - 1}$. Если записать сумму один раз слева направо, второй раз справа налево и сложить строки, получится n одинаковых пар. Поэтому $2S_{n} = n\left( a_{1} + a_{n} \right)$, а значит $S_{n} = \dfrac{n\left( a_{1} + a_{n} \right)}{2}$.

Когда последний член не дан, его можно сначала найти по формуле $a_{n} = a_{1} + d(n - 1)$. После подстановки получается вторая форма: $S_{n} = \dfrac{n\left( 2a_{1} + d(n - 1) \right)}{2}$. Обе формулы равноправны. Первая удобна, если известны крайние члены; вторая - если известны $a_{1}$, d и n. Не стоит заучивать их как две несвязанные строки: вторая получается из первой заменой $a_{n}$, поэтому её всегда можно восстановить.

В задачах про ряды кресел, ступени, ежедневный выпуск или накопления отдельный член отвечает одному конкретному ряду или дню, а $S_{n}$ - общему количеству за несколько рядов или дней. Слова «в последнем ряду» указывают на $a_{n}$, слова «всего», «за все дни», «общее число» - на $S_{n}$. Перед выбором формулы полезно спросить: требуется один элемент или накопленный итог? Неверный выбор часто даёт правдоподобное число, поэтому смысловая проверка обязательна.

• $S_{n} = \dfrac{n\left( a_{1} + a_{n} \right)}{2}$.

• $S_{n} = \dfrac{n\left( 2a_{1} + d(n - 1) \right)}{2}$.

• Один ряд или один день - член прогрессии; итог за все ряды или дни - сумма.

• Количество членов между крайними значениями: $n = \dfrac{\left( a_{n} - a_{1} \right)}{d} + 1$, если деление имеет смысл.

06. Геометрическая прогрессия и формула n-го члена

Геометрическая прогрессия - последовательность ненулевых чисел, в которой каждый следующий член получают умножением предыдущего на одно и то же число q. Число q называют знаменателем прогрессии: $b_{n + 1} = b_{n}q$. Его находят делением следующего члена на предыдущий: $q = \dfrac{b_{n + 1}}{b_{n}}$. Для 3, 12, 48 знаменатель равен 4. Для 16, 8, 4 - $\dfrac{1}{2}$. Для 5, −10, 20 - −2, и знаки членов чередуются.

До n-го члена от первого выполняют $n - 1$ умножений на q, поэтому $b_{n} = b_{1}q^{n - 1}$. Проверка $n = 1$ снова возвращает первый член, поскольку $q^{0} = 1$. Эта формула описывает не постоянную прибавку, а постоянное изменение в одно и то же число раз. Рост на $20\%$ за период соответствует умножению на 1,2; уменьшение на $20\%$ - умножению на 0,8. Ошибка «вычесть 0,2» смешивает процент и абсолютное число.

Если известны $b_{k}$ и $b_{m}$, то $\dfrac{b_{m}}{b_{k}} = q^{m - k}$. Сначала находят степень знаменателя, затем q. Нужно учитывать знак и условия задачи. Из $q^{2} = 9$ математически следуют $q = 3$ и $q = - 3$, но если сказано, что все члены положительны или величина растёт без смены знака, остаётся $q = 3$. Из $q^{3} = - 8$ получается единственное действительное $q = - 2$. После выбора знаменателя полезно восстановить один промежуточный член.

• $q = \dfrac{b_{n + 1}}{b_{n}}$, если предыдущий член не равен нулю.

• $b_{n} = b_{1}q^{n - 1}$.

• Рост на p% за период: $q = 1 + \dfrac{p}{100}$; уменьшение на p%: $q = 1 - \dfrac{p}{100}$.

• При извлечении корня учитывайте возможные знаки q и ограничения прикладной задачи.

07. Сумма первых n членов геометрической прогрессии

Пусть $S_{n} = b_{1} + b_{1}q + \ldots + b_{1}q^{n - 1}$. Умножим сумму на q: $qS_{n} = b_{1}q + \ldots + b_{1}q^{n}$. При вычитании одинаковые промежуточные слагаемые сокращаются, и остаётся $qS_{n} - S_{n} = b_{1}q^{n} - b_{1}$. Поэтому при $q \neq 1$ получаем $S_{n} = \dfrac{b_{1}\left( q^{n} - 1 \right)}{(q - 1)}$. Эквивалентная запись $S_{n} = \dfrac{b_{1}\left( 1 - q^{n} \right)}{(1 - q)}$ часто удобнее при $0 < q < 1$. Знаки числителя и знаменателя меняются одновременно, значение суммы остаётся тем же.

Если $q = 1$, все члены одинаковы, и формула с делением на $q - 1$ неприменима. В этом отдельном случае $S_{n} = nb_{1}$. Перед использованием общей формулы знаменатель нужно проверить. При отрицательном q слагаемые чередуют знаки; формула продолжает работать, но устный контроль суммы особенно важен. Например, $8 - 4 + 2 - 1 = 5$: ответ должен лежать между частичными колебаниями, а не быть большим положительным числом.

В сюжетах про удвоение клеток, распространение сообщений или выплаты по этапам важно понять, спрашивают значение в последний момент или сумму за все моменты. Число бактерий через четыре удвоения - отдельный член. Общее количество предметов, выданных на всех этапах, - сумма. Кроме того, число периодов и номер члена могут отличаться на единицу: начальное состояние - первый член, а после четырёх изменений наблюдается пятый член.

• При $q \neq 1$: $S_{n} = \dfrac{b_{1}\left( q^{n} - 1 \right)}{(q - 1)}$.

• При $q = 1$: $S_{n} = nb_{1}$.

• Начальное состояние считается первым членом; число изменений до $b_{n}$ равно $n - 1$.

• Отдельный момент - $b_{n}$, общий итог по всем этапам - $S_{n}$.

08. Как распознать модель в тексте задачи

Главный вопрос распознавания: величина каждый раз меняется на одно и то же число или в одно и то же число раз? Фразы «на 4 больше», «ежедневно на 15 деталей больше», «в каждом следующем ряду на 2 места меньше» задают арифметическую прогрессию. Фразы «в 3 раза больше», «ежегодно увеличивается на $5\%$», «каждый час остаётся половина» задают геометрическую. Слово «процент» почти всегда указывает на множитель, потому что процент вычисляется от текущего значения.

Полезно построить короткую таблицу из трёх строк: номер периода, значение, переход. Например, вклад 10 000 рублей растёт на $10\%$ ежегодно: 0 лет - 10 000; 1 год - 11 000; 2 года - 12 100. Здесь начисление за второй год уже не равно 1000, поэтому арифметической прогрессии нет. Если же человек каждый месяц откладывает на 1000 рублей больше, чем в предыдущем, сами ежемесячные взносы образуют арифметическую прогрессию, а накопленная сумма - её $S_{n}$.

• Одинаковая прибавка → арифметическая прогрессия.

• Одинаковый множитель или одинаковый процент от текущего значения → геометрическая прогрессия.

• В таблице периоды должны иметь одинаковую длительность.

• До вычислений назовите величину, которая является членом прогрессии.

Разбор 5. Рост за равные периоды

Условие. В начале наблюдения в культуре было 250 бактерий. Их число удваивается каждые 3 часа. Сколько бактерий будет через 12 часов?

Решение

1. За 12 часов проходит $\dfrac{12}{3} = 4$ полных периода роста.

2. Начальное число умножается на 2 четыре раза: $250 \cdot 2^{4}$.

3. $2^{4} = 16$, поэтому $250 \cdot 16 = 4000$.

4. Начальный момент - первый член, а через четыре изменения получается пятый член; степень равна числу изменений.

Ответ: 4000 бактерий.

09. Единый алгоритм решения и проверка ответа

Шаг 1 - перевести текст на язык последовательности. Выпишите $a_{1}$ или $b_{1}$, d или q, номер n и то, что требуется: отдельный член либо сумму. Шаг 2 - определить тип прогрессии по переходу. Шаг 3 - выбрать формулу только после заполнения данных. Шаг 4 - решить полученное линейное, квадратное или показательное уравнение. Шаг 5 - вернуть ответ в сюжет: места, рубли, дни, детали. Единицы измерения в промежуточной формуле могут не писаться, но в итоговой строке они обязательны, если задача текстовая.

После нахождения параметров восстановите два соседних члена. Для арифметической прогрессии их разность должна равняться d; для геометрической - отношение q. При нахождении суммы оцените порядок: сумма положительных членов больше каждого отдельного слагаемого. При убывающей арифметической прогрессии проверьте, не стали ли поздние члены отрицательными вопреки смыслу задачи. В прикладной модели отрицательное число мест или изделий означает, что выбранный диапазон n недопустим.

Частые ошибки имеют понятные причины. Множитель n вместо $n - 1$ появляется, когда считают номера, а не переходы. Сложение процентов появляется, когда процент воспринимают как фиксированную сумму. Потеря единицы в числе членов появляется, когда путают точки и промежутки. Подмена $b_{n}$ суммой $S_{n}$ возникает из-за невнимания к словам «в последний день» и «за все дни». Каждую ошибку можно предупредить одним контрольным вопросом до расчёта.

• Дано → тип перехода → искомая величина → формула → вычисление → смысловая проверка.

• Всегда различайте n членов и $n - 1$ переходов.

• После решения восстановите хотя бы один соседний член.

• Ответ в текстовой задаче записывают с единицами и проверяют на реалистичность.

10. Типичные ошибки и способы их остановить

• Путают номер n и значение $a_{n}$ или $b_{n}$.

• Используют n шагов от первого члена вместо $n - 1$.

• Вычитают члены в обратном порядке и теряют знак разности d.

• Смешивают постоянную прибавку и постоянное умножение.

• Выбирают формулу отдельного члена, когда в условии требуется общий итог.

• Принимают дробное или отрицательное значение n за допустимый номер члена.

11. Дополнительные разборы

12. Вопрос по теме

Когда в степени стоит n, а когда n − 1?

От первого до n-го члена сделано n − 1 переходов. Если дано начальное значение в момент 0, после n периодов изменения множитель применяется n раз.

13. Самостоятельная работа

В тесте 40 заданий. Начните с заданий 1-20, затем переходите к 21-35 и 36-40. Решите самостоятельно и только после этого откройте объяснение. Задания на повторение отмечены отдельно.

Перейти к тестовым заданиям урока 16