Урок 15. Работа, трубы и смеси

01. Производительность и объём работы

В задачах на работу основная связь та же, что при движении: выполненный объём равен производительности, умноженной на время. Если весь заказ принят за единицу, исполнитель, работающий $T$ часов, за один час выполняет $1/T$ заказа.

Производительность измеряется в заказах в час, деталях в день или литрах в минуту. Время и производительность - обратные величины только при фиксированном объёме. Складывать времена двух исполнителей для нахождения совместного времени нельзя.

$$p_{\text{вместе}}=p_1+p_2,\qquad T_{\text{вместе}}=\frac1{p_1+p_2}.$$

Если один выполняет заказ за 6 часов, а второй за 3, их производительности равны $1/6$ и $1/3$. Вместе получается половина заказа в час, значит на весь заказ нужны 2 часа. Результат меньше времени каждого по отдельности, что согласуется со смыслом.

02. Поэтапная работа

Если исполнители подключаются в разные моменты, разделите процесс на этапы. Для каждого найдите выполненную часть, затем сложите эти части. Не используйте одну общую производительность для времени, когда один из участников ещё не работал.

После первого этапа остаток равен $1-A_1$. Время второго этапа находится делением остатка на действующую производительность. Если спрашивают всю длительность, к этому времени прибавляют уже прошедшее время первого этапа.

При одинаковой производительности каждого рабочего число рабочих и время обратно пропорциональны. Пять рабочих за 12 дней выполняют 60 человеко-дней работы. Восемь таких рабочих выполнят этот объём за $60/8=7{,}5$ дня, если работа делится между ними без потерь эффективности.

03. Наполнение и слив

Наполняющая труба увеличивает объём, слив уменьшает. Поэтому их производительности имеют разные знаки: $p_{\text{чист}}=1/T_{\text{нап}}-1/T_{\text{слив}}$. Для наполнения пустого бака требуется положительная чистая производительность.

Если она равна нулю, уровень не растёт; если отрицательна, пустой бак при такой модели наполнить нельзя. При нескольких трубах складывайте вклады со знаком, а время находите уже по итоговой производительности.

04. Масса раствора и масса вещества

Раствор содержит вещество и растворитель. Массовая концентрация - доля вещества в общей массе: $c=m_{\text{вещ}}/m_{\text{раствора}}$. В уравнениях 20% записывается как $0{,}2$.

В 300 г 20%-го раствора содержится 60 г вещества и 240 г растворителя. При смешивании складываются массы растворов и отдельно массы вещества. Новая концентрация равна отношению этих двух итогов, а не сумме исходных процентов.

$$c=\frac{m_1c_1+m_2c_2}{m_1+m_2}.$$

Среднее арифметическое процентов допустимо только при равных массах. В остальных случаях получается взвешенное среднее, которое лежит между исходными концентрациями и ближе к концентрации раствора большей массы.

05. Что сохраняется при изменении раствора

Предполагается, что вещество не испаряется и химической реакции с потерей массы нет. Это модель данных учебных задач. Добавление чистого вещества меняет и числитель, и знаменатель дроби концентрации.

Если из 500 г 10%-го раствора испарить 100 г воды, вещества останется 50 г, общая масса станет 400 г и концентрация составит 12,5%. Если затем добавить те же 100 г воды, исходная концентрация восстановится.

06. Ограничения и точный ответ

Добавленная или удалённая масса неотрицательна. При испарении нельзя удалить больше воды, чем было в растворе. После добавления воды концентрация должна уменьшиться, после испарения воды - увеличиться. Эти проверки выявляют ошибки в модели ещё до вычислений.

Дробное число часов переводите в минуты умножением дробной части на 60: $1/3$ часа - 20 минут. Если масса получилась дробной, не округляйте без требования условия. Точную дробь можно сопровождать приближением, но не заменять им.

07. Подробные объяснения и разобранные примеры

Разбор 5. Разбавление раствора водой

УСЛОВИЕ

К 20 кг 30%-го раствора добавили 5 кг воды. Найдите концентрацию полученного раствора.

КОРОТКОЕ ПРАВИЛО.

При добавлении чистой воды масса растворённого вещества не меняется, а общая масса увеличивается.

ДО РЕШЕНИЯ.

Концентрация должна стать меньше 30%, потому что добавлена вода без вещества.

1. Переводим процент в долю

   $$30\% = 0,30$$

   В формуле концентрация используется как часть единицы.

2. Находим массу вещества

   $$m_{\text{вещ}} = 20 \cdot 0,30 = 6\ \text{кг}$$

   Вода не добавляет растворённого вещества.

3. Находим новую массу раствора

   $$m_{\text{нов}} = 20 + 5 = 25\ \text{кг}$$

   Складываем исходный раствор и воду.

4. Вычисляем новую долю

   $$c = \frac{6}{25} = 0,24$$

   Концентрация - отношение массы вещества к массе смеси.

5. Возвращаем проценты

   $$0,24 = 24\%$$

   Умножаем долю на 100%.

Проверка. 24%<30%, как и ожидалось после разбавления.

Типичная ошибка. Считать 30% от новой массы 25 кг: это изменило бы массу вещества, хотя добавлялась только вода.

ОТВЕТ.

$$24$$

08. Опорные формулы

$$p = \frac{1}{T},\quad\quad A = pt,\quad\quad\frac{1}{T_{\text{вместе}}} = \frac{1}{T_{1}} + \frac{1}{T_{2}}$$

$$p_{\text{итог}} = p_{\text{вход}} - p_{\text{слив}}\,\text{для противоположных потоков}$$

$$V = p_{\text{план}}t_{\text{план}} = p_{\text{факт}}t_{\text{факт}}$$

$$m_{\text{вещ}} = c\, m_{\text{смеси}},\quad\quad c = \frac{m_{\text{вещ}}}{m_{\text{смеси}}}$$

09. Вопрос по теме

Почему нельзя сложить время двух работников?

Время не складывается: за каждый час работники выполняют свои доли общего заказа. Складывайте доли за час, затем делите остаток работы на полученную производительность.

10. Самостоятельная работа

В тесте 40 заданий. Начните с заданий 1-20, затем переходите к 21-35 и 36-40. Решите самостоятельно и только после этого откройте объяснение. Задания на повторение отмечены отдельно.

Перейти к тестовым заданиям урока 15