Урок 15. Тестовые задания (40 вопросов)

10.10.2026 - Яна -

Математика
ЕГЭ
Профиль
Тесты

01. Начальный уровень: задания 1-20

Изучить теорию Задания в PDF Ответы и решения в PDF

Содержание

Начальный уровень: задания 1-20
Средний уровень: задания 21-35
Повышенный уровень: задания 36-40

Задание 1

Работа выполняется за 6 ч. Какую долю работы выполняют за 1 ч?

Ответ и решение к заданию 1

$p = \frac{1}{6}$

Ответ: $\dfrac{1}{6}$

Задание 2

Первый выполняет работу за 6 ч, второй за 3 ч. За сколько часов они выполнят её вместе?

Ответ и решение к заданию 2

$p = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{2}$

$T = 2$

Ответ: 2 ч

Задание 3

Первый выполняет работу за 4 ч, второй за 12 ч. Найдите совместное время.

Ответ и решение к заданию 3

$p = \frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{1}{3}$

$T = 3$

Ответ: 3 ч

Задание 4

Трубы наполняют бак за 5 ч и 10 ч. За сколько часов наполнят вместе?

Ответ и решение к заданию 4

$p = \frac{1}{5} + \frac{1}{10} = \frac{3}{10}$

$T = \frac{10}{3}$

Ответ: 3 ч 20 мин

Задание 5

Работу выполняют за 8 ч. Какая доля выполнена за 3 ч?

Ответ и решение к заданию 5

$A = \frac{1}{8} \cdot 3 = \frac{3}{8}$

Ответ: $\dfrac{3}{8}$

Задание 6

Исполнители делают работу за 12 и 6 ч. Какую долю они выполнят вместе за 2 ч?

Ответ и решение к заданию 6

$A = 2\left( \frac{1}{12} + \frac{1}{6} \right) = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\dfrac{1}{2}$

Задание 7

Вместе работу выполняют за 4 ч, первый - за 6 ч. За сколько часов выполнит второй?

Ответ и решение к заданию 7

$\frac{1}{T} = \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$

$T = 12$

Ответ: 12 ч

Задание 8

Труба наполняет бак за 6 ч, слив опустошает за 12 ч. За сколько часов наполнится бак при совместной работе?

Ответ и решение к заданию 8

$p = \frac{1}{6} - \frac{1}{12} = \frac{1}{12}$

$T = 12$

Ответ: 12 ч

Задание 9

Найдите массу соли в 300 г 20%-го раствора.

Ответ и решение к заданию 9

$m = 0,2 \cdot 300 = 60$

Ответ: 60 г

Задание 10

В 200 г раствора содержится 40 г вещества. Найдите концентрацию.

Ответ и решение к заданию 10

$c = \frac{40}{200} = 0,2 = 20\%$

Ответ: 20%

Задание 11

Смешали 100 г 10%-го и 200 г 20%-го раствора. Найдите массу вещества в смеси.

Ответ и решение к заданию 11

$m = 0,1 \cdot 100 + 0,2 \cdot 200 = 50$

Ответ: 50 г

Задание 12

К 200 г 30%-го раствора добавили 100 г воды. Найдите новую концентрацию.

Ответ и решение к заданию 12

$m_{\text{вещ}} = 60$

$c = \frac{60}{300} = 20\%$

Ответ: 20%

Задание 13

Из 500 г 10%-го раствора испарили 100 г воды. Найдите концентрацию.

Ответ и решение к заданию 13

$m_{\text{вещ}} = 50$

$c = \frac{50}{400} = 12,5\%$

Ответ: 12,5%

Задание 14

Смешали равные массы 10%-го и 30%-го растворов. Найдите концентрацию смеси.

Ответ и решение к заданию 14

При равных массах концентрация равна среднему арифметическому.

$c = \frac{10\% + 30\%}{2} = 20\%$

Ответ: 20%

Задание 15

К 200 г 10%-го раствора добавили чистое вещество. Сколько граммов нужно добавить, чтобы получить 20%?

Ответ и решение к заданию 15

$\frac{20 + x}{200 + x} = 0,2$

$20 + x = 40 + 0,2x$

$x = 25$

Ответ: 25 г

Задание 16

Сколько воды добавить к 300 г 20%-го раствора, чтобы получить 15%-й?

Ответ и решение к заданию 16

$m_{\text{вещ}} = 60$

$\frac{60}{300 + x} = 0,15$

$x = 100$

Ответ: 100 г

Задание 17

Повторение: движение, расчёты по формуле и экстремумы.

Два автомобиля одновременно выехали навстречу друг другу из пунктов на расстоянии 300 км со скоростями 70 и 80 км/ч. Через сколько часов они встретятся?

Ответ и решение к заданию 17

$t = \frac{300}{150} = 2$

Ответ: 2 ч

Задание 18

Повторение: движение, расчёты по формуле и экстремумы.

Автомобиль проехал из A в B со скоростью 60 км/ч и вернулся по тому же пути со скоростью 40 км/ч без остановок. Найдите среднюю скорость всей поездки.

Ответ и решение к заданию 18

Возьмём по 120 км.

$v_{\text{ср}} = \frac{240}{2 + 3} = 48$

Ответ: 48 км/ч

Задание 19

Повторение: движение, расчёты по формуле и экстремумы.

Найдите кинетическую энергию E в джоулях при массе m = 2 кг и скорости v = 4 м/с по формуле ниже.

$E = \frac{mv^{2}}{2}$

Ответ и решение к заданию 19

$E = 16$

Ответ: 16 Дж

Задание 20

Работу выполняют за 10 ч. Какую часть выполнят за 4 ч?

Ответ и решение к заданию 20

$A = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

Ответ: $\dfrac{2}{5}$

02. Средний уровень: задания 21-35

Задание 21

Исполнители выполняют работу за 6, 8 и 12 ч. Найдите совместное время.

Ответ и решение к заданию 21

$p = \frac{1}{6} + \frac{1}{8} + \frac{1}{12} = \frac{4 + 3 + 2}{24} = \frac{3}{8}$

$T = \frac{8}{3}$

Ответ: 2 ч 40 мин

Задание 22

Вместе работу выполняют за 6 ч, первый - за 10 ч. За сколько часов выполнит второй?

Ответ и решение к заданию 22

$\frac{1}{T} = \frac{1}{6} - \frac{1}{10} = \frac{1}{15}$

$T = 15$

Ответ: 15 ч

Задание 23

Труба наполняет бак за 8 ч, слив опустошает за 24 ч. Найдите время наполнения при совместной работе.

Ответ и решение к заданию 23

$p = \frac{1}{8} - \frac{1}{24} = \frac{1}{12}$

$T = 12$

Ответ: 12 ч

Задание 24

Две трубы вместе наполняют бак за 4 ч. Первая - за 12 ч. За сколько часов наполняет вторая?

Ответ и решение к заданию 24

$\frac{1}{T} = \frac{1}{4} - \frac{1}{12} = \frac{1}{6}$

$T = 6$

Ответ: 6 ч

Задание 25

5 одинаковых рабочих выполняют заказ за 12 дней. За сколько дней выполнят 8 рабочих?

Ответ и решение к заданию 25

$5 \cdot 12 = 8t$

$t = \frac{60}{8} = 7,5$

Ответ: 7,5 дня

Задание 26

Заказ планировали делать 15 дней. Ежедневно делали на 10 деталей больше и закончили за 10 дней. Найдите плановую дневную норму.

Ответ и решение к заданию 26

$15x = 10(x + 10)$

$5x = 100 \Rightarrow x = 20$

Ответ: 20 деталей

Задание 27

Первый делает работу за 6 ч, второй за 8 ч. Они работали вместе 2 ч, затем первый ушёл. Сколько времени заняла вся работа?

Ответ и решение к заданию 27

$A_{1} = 2\left( \frac{1}{6} + \frac{1}{8} \right) = \frac{7}{12}$

$A_{\text{ост}} = \frac{5}{12}$

$t_{2} = \frac{5/12}{1/8} = \frac{10}{3}$

$t_{\text{общ}} = 2 + \frac{10}{3} = \frac{16}{3}$

Ответ: 5 ч 20 мин

Задание 28

Первая труба наполняет бак за 6 ч. Через 2 ч открыли вторую, наполняющую за 12 ч. Найдите общее время.

Ответ и решение к заданию 28

$A_{1} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$A_{\text{ост}} = \frac{2}{3}$

$p = \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{1}{4}$

$t = \frac{2/3}{1/4} = \frac{8}{3}$

$t_{\text{общ}} = 2 + \frac{8}{3} = \frac{14}{3}$

Ответ: 4 ч 40 мин

Задание 29

Смешали 400 г 15%-го и 100 г 35%-го раствора. Найдите концентрацию.

Ответ и решение к заданию 29

$m = 0,15 \cdot 400 + 0,35 \cdot 100 = 95$

$c = \frac{95}{500} = 19\%$

Ответ: 19%

Задание 30

Из 20%-го и 50%-го растворов получили 300 г 30%-го. Сколько граммов 50%-го раствора взяли?

Ответ и решение к заданию 30

$0,5x + 0,2(300 - x) = 0,3 \cdot 300$

$0,3x = 30$

$x = 100$

Ответ: 100 г

Задание 31

К 500 г 8%-го раствора добавляют чистую соль до концентрации 12%. Найдите массу соли.

Ответ и решение к заданию 31

$\frac{40 + x}{500 + x} = 0,12$

$40 + x = 60 + 0,12x$

$0,88x = 20$

$x = \frac{250}{11} \approx 22,73$

Ответ: 250/11 г, приблизительно 22,73 г.

Задание 32

Сколько воды испарить из 600 г 25%-го раствора, чтобы получить 40%-й?

Ответ и решение к заданию 32

$m_{\text{вещ}} = 150$

$m_{\text{нов}} = \frac{150}{0,4} = 375$

$600 - 375 = 225$

Ответ: 225 г

Задание 33

Сколько воды добавить к 250 г 36%-го раствора, чтобы получить 24%-й?

Ответ и решение к заданию 33

$m_{\text{вещ}} = 90$

$m_{\text{нов}} = \frac{90}{0,24} = 375$

$375 - 250 = 125$

Ответ: 125 г

Задание 34

Повторение: движение, расчёты по формуле и экстремумы.

Найдите максимум функции.

$f(x) = - x^{2} + 10x$

Ответ и решение к заданию 34

$f(x) = - (x - 5)^{2} + 25$

Ответ: $25$

Задание 35

Труба наполняет бак за 6 ч. Через 2 ч открыли слив. Бак наполнился ещё за 6 ч. За сколько часов слив опустошает полный бак?

Ответ и решение к заданию 35

$A_{\text{после 2 ч}} = \frac{1}{3}$

$p_{\text{чист}} = \frac{2/3}{6} = \frac{1}{9}$

$\frac{1}{6} - \frac{1}{T} = \frac{1}{9}$

$\frac{1}{T} = \frac{1}{18}$

Ответ: 18 ч

03. Повышенный уровень: задания 36-40

Задание 36

Две трубы наполняют бак за 4 и 6 ч, слив опустошает за 12 ч. Найдите время наполнения при одновременной работе.

Ответ и решение к заданию 36

$p = \frac{1}{4} + \frac{1}{6} - \frac{1}{12} = \frac{1}{3}$

$T = 3$

Ответ: 3 ч

Задание 37

Один мастер выполняет заказ на 5 часов быстрее другого. Вместе они выполняют его за 6 часов. За сколько часов каждый мастер выполнит заказ отдельно?

Ответ и решение

Пусть более быстрый мастер тратит x часов, другой x + 5 часов, x > 0. Складываем производительности.

$\frac1x+\frac1{x+5}=\frac16$

$x^2-7x-30=(x-10)(x+3)=0$

Корень −3 не подходит. При x = 10 второй мастер тратит 15 часов. 1/10 + 1/15 = 1/6.

Ответ: 10 и 15 часов.

Задание 38

Смешивают 30%-й и 70%-й сплавы, чтобы получить 40 кг 50%-го. Найдите массы исходных сплавов.

Ответ и решение к заданию 38

$0,3x + 0,7(40 - x) = 0,5 \cdot 40$

$- 0,4x = - 8$

$x = 20$

Ответ: 20 кг и 20 кг

Задание 39

К 20 кг 30%-го раствора добавляют 90%-й раствор, чтобы получить 50%-й. Найдите добавленную массу.

Ответ и решение к заданию 39

$\frac{6 + 0,9x}{20 + x} = 0,5$

$6 + 0,9x = 10 + 0,5x$

$x = 10$

Ответ: 10 кг

Задание 40

Из 500 г 20%-го раствора испарили 100 г воды, затем добавили 100 г воды. Найдите итоговую концентрацию.

Ответ и решение к заданию 40

$m_{\text{вещ}} = 0,2 \cdot 500 = 100$

После испарения и добавления воды общая масса снова равна 500 г.

$c = \frac{100}{500} = 20\%$

Ответ: 20%

В тесте 40 заданий: 36 по теме «Работа, трубы и смеси», 4 на повторение (движение, расчёты по формуле и экстремумы). Задания 1-20 начального уровня, 21-35 среднего, 36-40 повышенного. Сначала решите самостоятельно, затем откройте ответ и объяснение.

В задачах производительности и скорости потоков постоянны; при наполнении бак первоначально пуст, если не сказано иное. Концентрация означает массовую долю одного и того же вещества. При испарении удаляется только вода.