Прогрессии: 40 заданий с ответами

Задание 1

Продолжите арифметическую прогрессию 4, 7, 10, … ещё на три члена.

Ответ и решение к заданию 1

1. Разность соседних членов: $7 - 4 = 3$ и $10 - 7 = 3$ .

2. Трижды прибавляем 3: 13, 16, 19.

Ответ: 13; 16; 19.

Задание 2

Является ли последовательность 18, 12, 6, 0, −6 арифметической? Если да, укажите разность.

Ответ и решение к заданию 2

1. Вычисляем соседние разности: $12 - 18 = - 6$ , $6 - 12 = - 6$ , $0 - 6 = - 6$ , $- 6 - 0 = - 6$ .

2. Все разности одинаковы, значит это арифметическая прогрессия с $d = - 6$ .

Ответ: Да, $d = - 6$ .

Задание 3

В арифметической прогрессии $a_{1} = 5$ , $d = 4$ . Найдите $a_{8}$ .

Ответ и решение к заданию 3

1. Используем $a_{n} = a_{1} + d(n - 1)$ .

2. $a_{8} = 5 + 4 \cdot 7 = 33$ .

Ответ: 33.

Задание 4

В арифметической прогрессии $a_{1} = 31$ , $d = - 3$ . Найдите $a_{11}$ .

Ответ и решение к заданию 4

1. До одиннадцатого члена 10 переходов.

2. $a_{11} = 31 + ( - 3) \cdot 10 = 1$ .

Ответ: 1.

Задание 5

В арифметической прогрессии $a_{4} = 17$ , $d = 5$ . Найдите $a_{1}$ .

Ответ и решение к заданию 5

1. $a_{4} = a_{1} + 3d$ .

2. $17 = a_{1} + 15$ , поэтому $a_{1} = 2$ .

Ответ: 2.

Задание 6

Между числами 14 и 30 вставьте одно число так, чтобы три числа образовали арифметическую прогрессию.

Ответ и решение к заданию 6

1. Средний член арифметической прогрессии равен полусумме соседних.

2. $\dfrac{(14 + 30)}{2} = 22$ .

Ответ: 22.

Задание 7

Для арифметической прогрессии $a_{1} = 9$ , $d = 6$ определите номер члена, равного 81.

Ответ и решение к заданию 7

1. Составляем $9 + 6(n - 1) = 81$ .

2. $6(n - 1) = 72$ , $n - 1 = 12$ , $n = 13$ .

Ответ: 13.

Задание 8

Найдите сумму первых 10 членов арифметической прогрессии 3, 7, 11, …

Ответ и решение к заданию 8

1. $a_{1} = 3$ , $d = 4$ , $n = 10$ .

2. $a_{10} = 3 + 9 \cdot 4 = 39$ .

3. $S_{10} = \dfrac{10(3 + 39)}{2} = 210$ .

Ответ: 210.

Задание 9

Найдите сумму всех целых чисел от 12 до 40 включительно.

Ответ и решение к заданию 9

1. Числа образуют арифметическую прогрессию с $d = 1$ .

2. Количество членов: $40 - 12 + 1 = 29$ .

3. $S = \dfrac{29(12 + 40)}{2} = 29 \cdot 26 = 754$ .

Ответ: 754.

Задание 10

Повторение: работа, движение, формулы и экстремумы.

Первая труба наполняет бассейн за 8 часов, вторая - за 24 часа. За сколько часов они наполнят бассейн вместе?

Ответ и решение к заданию 10

1. Производительности равны $\dfrac{1}{8}$ и $\dfrac{1}{24}$ бассейна в час.

2. Общая производительность: $\dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{24} = \dfrac{4}{24} = \dfrac{1}{6}$ .

3. Время совместной работы равно $1:\dfrac{1}{6} = 6$ часов.

Ответ: 6 часов.

Задание 11

Продолжите геометрическую прогрессию 2, 6, 18, … ещё на три члена.

Ответ и решение к заданию 11

1. Знаменатель $q = \dfrac{6}{2} = 3$ и $\dfrac{18}{6} = 3$ .

2. Умножаем на 3: 54, 162, 486.

Ответ: 54; 162; 486.

Задание 12

В геометрической прогрессии $b_{1} = 7$ , $q = 2$ . Найдите $b_{6}$ .

Ответ и решение к заданию 12

1. $b_{6} = b_{1}q^{5}$ .

2. $b_{6} = 7 \cdot 2^{5} = 7 \cdot 32 = 224$ .

Ответ: 224.

Задание 13

В геометрической прогрессии $b_{1} = 243$ , $q = \dfrac{1}{3}$ . Найдите $b_{5}$ .

Ответ и решение к заданию 13

1. До пятого члена четыре умножения на $\dfrac{1}{3}$ .

2. $b_{5} = 243 \cdot \left( \dfrac{1}{3} \right)^{4} = \dfrac{243}{81} = 3$ .

Ответ: 3.

Задание 14

В положительной геометрической прогрессии $b_{1} = 5$ , $b_{3} = 45$ . Найдите q.

Ответ и решение к заданию 14

1. $b_{3} = b_{1}q^{2}$ , поэтому $45 = 5q^{2}$ .

2. $q^{2} = 9$ . Прогрессия положительная, значит $q = 3$ .

Ответ: 3.

Задание 15

В геометрической прогрессии $b_{4} = 54$ , $q = 3$ . Найдите $b_{1}$ .

Ответ и решение к заданию 15

1. $b_{4} = b_{1}q^{3}$ .

2. $54 = 27b_{1}$ , поэтому $b_{1} = 2$ .

Ответ: 2.

Задание 16

В геометрической прогрессии $b_{1} = 4$ , $q = 2$ определите номер члена, равного 256.

Ответ и решение к заданию 16

1. Составляем $4 \cdot 2^{n - 1} = 256$ .

2. $2^{2} \cdot 2^{n - 1} = 2^{8}$ , поэтому $n + 1 = 8$ и $n = 7$ .

Ответ: 7.

Задание 17

Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии с $b_{1} = 3$ и $q = 2$ .

Ответ и решение к заданию 17

1. Используем $S_{5} = \dfrac{b_{1}\left( q^{5} - 1 \right)}{(q - 1)}$ .

2. $S_{5} = \dfrac{3(32 - 1)}{(2 - 1)} = 93$ .

Ответ: 93.

Задание 18

Найдите сумму $1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64$ .

Ответ и решение к заданию 18

1. Это семь членов геометрической прогрессии: $b_{1} = 1$ , $q = 2$ .

2. $S_{7} = \dfrac{\left( 2^{7} - 1 \right)}{(2 - 1)} = 128 - 1 = 127$ .

Ответ: 127.

Задание 19

Повторение: работа, движение, формулы и экстремумы.

Два города находятся на расстоянии 420 км. Автомобиль проехал это расстояние со скоростью 70 км/ч. Сколько часов заняла поездка?

Ответ и решение к заданию 19

1. Для равномерного движения $t = \dfrac{S}{v}$ .

2. $t = \dfrac{420}{70} = 6$ часов.

Ответ: 6 часов.

Задание 20

В первом ряду театра 18 мест, а в каждом следующем на 2 места больше. Сколько мест в 16-м ряду?

Ответ и решение к заданию 20

1. Число мест образует арифметическую прогрессию: $a_{1} = 18$ , $d = 2$ .

2. $a_{16} = 18 + 15 \cdot 2 = 48$ .

Ответ: 48 мест.

Задание 21

Спортсмен в первый день пробежал 6 км, а каждый следующий день увеличивал дистанцию на 0,5 км. Сколько километров он пробежал за 12 дней?

Ответ и решение к заданию 21

1. Дневные дистанции образуют арифметическую прогрессию: $a_{1} = 6$ , $d = 0,5$ , $n = 12$ .

2. $a_{12} = 6 + 11 \cdot 0,5 = 11,5$ .

3. $S_{12} = \dfrac{12(6 + 11,5)}{2} = 6 \cdot 17,5 = 105$ .

Ответ: 105 км.

Задание 22

На нижней ступени декоративной лестницы 40 плиток. На каждой следующей ступени на 3 плитки меньше. Сколько плиток на 9-й ступени?

Ответ и решение к заданию 22

1. $a_{1} = 40$ , $d = - 3$ , $n = 9$ .

2. $a_{9} = 40 + 8 \cdot ( - 3) = 16$ .

Ответ: 16 плиток.

Задание 23

Рабочий изготовил в первый день 24 детали, а затем ежедневно делал на 4 детали больше. За сколько первых дней он изготовил 252 детали?

Ответ и решение к заданию 23

1. $S_{n} = \dfrac{n\left( 2 \cdot 24 + 4(n - 1) \right)}{2} = 252$ .

2. $\dfrac{n(48 + 4n - 4)}{2} = 252$ , то есть $2n^{2} + 22n - 252 = 0$ .

3. Делим на 2: $n^{2} + 11n - 126 = 0$ ; $(n - 7)(n + 18) = 0$ .

4. Подходит натуральный корень $n = 7$ .

5. седьмой член равен 48, а $S_{7} = \dfrac{7(24 + 48)}{2} = 252$ .

Ответ: 7 дней.

Задание 24

Найдите сумму всех положительных двузначных чисел, кратных 6.

Ответ и решение к заданию 24

1. Первое двузначное кратное 6 равно 12, последнее - 96; $d = 6$ .

2. Количество членов $n = \dfrac{(96 - 12)}{6} + 1 = 15$ .

3. $S_{15} = \dfrac{15(12 + 96)}{2} = 15 \cdot 54 = 810$ .

Ответ: 810.

Задание 25

В арифметической прогрессии $a_{4} = 13$ , $a_{11} = 41$ . Найдите $a_{20}$ .

Ответ и решение к заданию 25

1. $a_{11} - a_{4} = (11 - 4)d$ : $41 - 13 = 7d$ , поэтому $d = 4$ .

2. $a_{20} = a_{11} + 9d = 41 + 36 = 77$ .

Ответ: 77.

Задание 26

Сумма первых 20 членов арифметической прогрессии равна 710, а первый член равен 7. Найдите разность d.

Ответ и решение к заданию 26

1. $S_{20} = \dfrac{20(2 \cdot 7 + 19d)}{2} = 710$ .

2. $10(14 + 19d) = 710$ , поэтому $14 + 19d = 71$ .

3. $19d = 57$ , $d = 3$ .

Ответ: 3.

Задание 27

Три числа образуют арифметическую прогрессию. Их сумма равна 33, а произведение первого и третьего равно 85. Найдите эти числа, если они возрастают.

Ответ и решение к заданию 27

1. Запишем числа $11 - d$ , 11, $11 + d$ , поскольку средний член равен $\dfrac{33}{3} = 11$ .

2. $(11 - d)(11 + d) = 85$ , то есть $121 - d^{2} = 85$ .

3. $d^{2} = 36$ . Для возрастающей прогрессии $d = 6$ .

4. Числа: 5, 11, 17.

Ответ: 5; 11; 17.

Задание 28

Между числами 8 и 32 вставьте пять чисел так, чтобы вместе они образовали арифметическую прогрессию.

Ответ и решение к заданию 28

1. Всего будет 7 членов, значит от 8 до 32 - 6 равных переходов.

2. $d = \dfrac{(32 - 8)}{6} = 4$ .

3. Последовательно прибавляем 4: 12, 16, 20, 24, 28.

Ответ: 12; 16; 20; 24; 28.

Задание 29

Повторение: работа, движение, формулы и экстремумы.

Цена товара вычисляется по формуле $C = 1,2p + 350$ , где p - закупочная цена в рублях. Найдите p, если $C = 2750$ рублей.

Ответ и решение к заданию 29

1. Подставляем $C = 2750$ : $1,2p + 350 = 2750$ .

2. $1,2p = 2400$ , поэтому $p = 2000$ .

Ответ: 2000 рублей.

Задание 30

В начале опыта было 80 бактерий. Каждые 20 минут их число удваивалось. Сколько бактерий стало через 2 часа?

Ответ и решение к заданию 30

1. $2\text{часа} = 120\text{минут}$ , это $\dfrac{120}{20} = 6$ периодов.

2. После шести удвоений: $80 \cdot 2^{6} = 80 \cdot 64 = 5120$ .

Ответ: 5120 бактерий.

Задание 31

Стоимость оборудования ежегодно уменьшается на $10\%$ . Первоначально оно стоило 200 000 рублей. Какова стоимость через 3 года?

Ответ и решение к заданию 31

1. После уменьшения на $10\%$ остаётся $90\%$ , поэтому $q = 0,9$ .

2. Через три изменения стоимость равна $200000 \cdot 0,9^{3}$ .

3. $0,9^{3} = 0,729$ ; $200000 \cdot 0,729 = 145800$ .

Ответ: 145 800 рублей.

Задание 32

В первый день участник получил 2 балла, а каждый следующий день - в 3 раза больше, чем в предыдущий. Сколько баллов он получил всего за 6 дней?

Ответ и решение к заданию 32

1. Баллы образуют геометрическую прогрессию: $b_{1} = 2$ , $q = 3$ , $n = 6$ .

2. $S_{6} = \dfrac{2\left( 3^{6} - 1 \right)}{(3 - 1)} = 3^{6} - 1$ .

3. $3^{6} = 729$ , поэтому $S_{6} = 728$ .

Ответ: 728 баллов.

Задание 33

В положительной геометрической прогрессии $b_{2} = 12$ , $b_{5} = 324$ . Найдите $b_{7}$ .

Ответ и решение к заданию 33

1. $\dfrac{b_{5}}{b_{2}} = q^{3} = \dfrac{324}{12} = 27$ , поэтому $q = 3$ .

2. От $b_{5}$ до $b_{7}$ два перехода: $b_{7} = 324 \cdot 3^{2} = 2916$ .

Ответ: 2916.

Задание 34

В геометрической прогрессии $b_{1} = 2$ , $q = 3$ . Какой член равен 486?

Ответ и решение к заданию 34

1. $2 \cdot 3^{n - 1} = 486$ , поэтому $3^{n - 1} = 243$ .

2. $243 = 3^{5}$ , значит $n - 1 = 5$ и $n = 6$ .

Ответ: Шестой член.

Задание 35

Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии, если $b_{1} = 96$ , $q = \dfrac{1}{2}$ .

Ответ и решение к заданию 35

1. $S_{6} = \dfrac{96\left( 1 - \left( \dfrac{1}{2} \right)^{6} \right)}{\left( 1 - \dfrac{1}{2} \right)}$ .

2. $\left( \dfrac{1}{2} \right)^{6} = \dfrac{1}{64}$ , поэтому $S_{6} = 96 \cdot \left( \dfrac{63}{64} \right) \cdot 2$ .

3. $\dfrac{96}{64} = \dfrac{3}{2}$ ; $S_{6} = \left( \dfrac{3}{2} \right) \cdot 63 \cdot 2 = 189$ .

Ответ: 189.

Задание 36

Оплата за первый этап проекта составляет 1000 рублей, а за каждый следующий этап вдвое больше. Какова общая оплата за 8 этапов?

Ответ и решение к заданию 36

1. Выплаты образуют геометрическую прогрессию: $b_{1} = 1000$ , $q = 2$ , $n = 8$ .

2. $S_{8} = \dfrac{1000\left( 2^{8} - 1 \right)}{(2 - 1)} = 1000(256 - 1)$ .

3. $S_{8} = 255000$ рублей.

Ответ: 255 000 рублей.

Задание 37

Три положительных числа образуют геометрическую прогрессию. Их произведение равно 1000, а первое число равно 5. Найдите остальные числа, если прогрессия возрастает.

Ответ и решение к заданию 37

1. Пусть числа 5, 5q, $5q^{2}$ .

2. Их произведение $125q^{3} = 1000$ , поэтому $q^{3} = 8$ и $q = 2$ .

3. Второе число $5 \cdot 2 = 10$ , третье $5 \cdot 4 = 20$ .

Ответ: 10; 20.

Задание 38

Вклад 50 000 рублей увеличивается на $8\%$ в год. Какая сумма будет на счёте через 2 года, если дополнительных операций нет?

Ответ и решение к заданию 38

1. Годовой множитель $q = 1 + 0,08 = 1,08$ .

2. Через два года: $50000 \cdot 1,08^{2} = 50000 \cdot 1,1664$ .

3. Получаем 58320 рублей.

Ответ: 58 320 рублей.

Задание 39

Повторение: работа, движение, формулы и экстремумы.

Функция f непрерывна на отрезке [−2; 10] и дифференцируема внутри него. Функция f определена на отрезке $\lbrack - 2;10\rbrack$ . На рисунке графика производной $f\prime(x)$ производная положительна на интервале $( - 2;5)$ и отрицательна на интервале $(5;10)$ . В какой точке функция f принимает наибольшее значение?

Ответ и решение к заданию 39

1. На $( - 2;5)$ функция возрастает, потому что $f\prime(x) > 0$ .

2. На $(5;10)$ функция убывает, потому что $f\prime(x) < 0$ .

3. Функция возрастает до $x = 5$ и убывает после этой точки, поэтому на отрезке $\lbrack - 2;10\rbrack$ наибольшее значение принимается при $x = 5$ .

Ответ: $x = 5$ .

Задание 40

Компания выпускает в первый месяц 120 изделий и каждый месяц увеличивает выпуск на 15 изделий. Другая линия в первый месяц выпускает 5 изделий и ежемесячно удваивает выпуск. Найдите выпуск каждой линии в 6-й месяц и определите, у какой он больше.

Ответ и решение к заданию 40

1. Первая линия: арифметическая прогрессия $a_{1} = 120$ , $d = 15$ ; $a_{6} = 120 + 5 \cdot 15 = 195$ .

2. Вторая линия: геометрическая прогрессия $b_{1} = 5$ , $q = 2$ ; $b_{6} = 5 \cdot 2^{5} = 160$ .

3. Сравниваем 195 и 160: в шестой месяц первая линия выпускает на 35 изделий больше.

Ответ: 195 изделий и 160 изделий; больше у первой линии на 35 изделий.

Урок 16. Тестовые задания (40 вопросов)

01. Начальный уровень: задания 1-20

Задание 1

Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

Задание 6

Задание 7

Задание 8

Задание 9

Задание 10

Задание 11

Задание 12

Задание 13

Задание 14

Задание 15

Задание 16

Задание 17

Задание 18

Задание 19

Задание 20

02. Средний уровень: задания 21-35

Задание 21

Задание 22

Задание 23

Задание 24

Задание 25

Задание 26

Задание 27

Задание 28

Задание 29

Задание 30

Задание 31

Задание 32

Задание 33

Задание 34

Задание 35

03. Повышенный уровень: задания 36-40

Задание 36

Задание 37

Задание 38

Задание 39

Задание 40