Урок 17. Тестовые задания (40 вопросов)

10.10.2026 - Яна -

Математика
ЕГЭ
Профиль
Тесты

В тесте 40 заданий: 36 по теме «Вероятность: один опыт», 4 на повторение (прогрессии, смеси и экстремумы). Задания 1-20 начального уровня, 21-35 среднего, 36-40 повышенного. Сначала решите самостоятельно, затем откройте ответ и объяснение.

Изучить теорию Задания в PDF Ответы и решения в PDF

Содержание

Начальный уровень: задания 1-20
Средний уровень: задания 21-35
Повышенный уровень: задания 36-40

01. Начальный уровень: задания 1-20

Задание 1

Монету подбрасывают один раз. Перечислите все возможные исходы и укажите вероятность выпадения орла.

Ответ и решение к заданию 1

1. Возможны два равновозможных исхода: орёл и решка.

2. Благоприятен один исход из двух, поэтому $P = \dfrac{1}{2}$ .

Ответ: Исходы: орёл, решка; $P = \dfrac{1}{2}$ .

Задание 2

Честный кубик бросают один раз. Найдите вероятность выпадения чётного числа.

Ответ и решение к заданию 2

1. Всего 6 исходов.

2. Чётные значения: 2, 4, 6 - три исхода.

3. $P = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ .

Ответ: $\dfrac{1}{2}$ .

Задание 3

Честный кубик бросают один раз. Найдите вероятность выпадения числа меньше 3.

Ответ и решение к заданию 3

1. Подходят числа 1 и 2: два исхода из шести.

2. $P = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$ .

Ответ: $\dfrac{1}{3}$ .

Задание 4

Вероятность дождя завтра равна 0,27. Найдите вероятность того, что дождя не будет.

Ответ и решение к заданию 4

1. События «будет дождь» и «дождя не будет» противоположны.

2. $P = 1 - 0,27 = 0,73$ .

Ответ: 0,73.

Задание 5

Круг разделён на 8 равных секторов, из них 3 красных. Стрелка с равной вероятностью останавливается в любом секторе. Найдите вероятность красного сектора.

Ответ и решение к заданию 5

1. Все 8 равных секторов равновозможны.

2. Красных секторов 3, поэтому $P = \dfrac{3}{8} = 0,375$ .

Ответ: 0,375.

Задание 6

В коробке 4 белых и 11 чёрных одинаковых шаров. Выбирают один шар. Найдите вероятность белого шара.

Ответ и решение к заданию 6

1. Всего $4 + 11 = 15$ шаров.

2. Белых 4, поэтому $P = \dfrac{4}{15}$ .

Ответ: $\dfrac{4}{15}$ .

Задание 7

Из карточек с числами от 1 до 20 случайно выбирают одну. Найдите вероятность выбрать число, кратное 5.

Ответ и решение к заданию 7

1. Всего 20 карточек.

2. Кратные 5: 5, 10, 15, 20 - четыре карточки.

3. $P = \dfrac{4}{20} = \dfrac{1}{5}$ .

Ответ: $\dfrac{1}{5}$ .

Задание 8

В лотерее 50 билетов, из них 7 выигрышных. Найдите вероятность выигрыша при покупке одного случайного билета.

Ответ и решение к заданию 8

1. Благоприятных билетов 7, всего 50.

2. $P = \dfrac{7}{50} = 0,14$ .

Ответ: 0,14.

Задание 9

Повторение: прогрессии, смеси и экстремумы.

В арифметической прогрессии $a_{1} = 8$ , $d = 5$ . Найдите $a_{12}$ .

Ответ и решение к заданию 9

1. $a_{12} = a_{1} + 11d$ .

2. $a_{12} = 8 + 11 \cdot 5 = 63$ .

Ответ: 63.

Задание 10

Из букв слова «МАТЕМАТИКА» случайно выбирают одну позицию. Найдите вероятность выбрать гласную букву.

Ответ и решение к заданию 10

1. В слове 10 позиций.

2. Гласные стоят на пяти позициях: А, Е, А, И, А.

3. $P = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$ .

Ответ: $\dfrac{1}{2}$ .

Задание 11

Случайно выбирают целое число от 1 до 30. Найдите вероятность того, что оно является делителем 30.

Ответ и решение к заданию 11

1. Делители 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 - восемь чисел.

2. Всего 30 равновозможных чисел.

3. $P = \dfrac{8}{30} = \dfrac{4}{15}$ .

Ответ: $\dfrac{4}{15}$ .

Задание 12

Случайно выбирают двузначное число. Найдите вероятность того, что его последняя цифра равна 7.

Ответ и решение к заданию 12

1. Всего 90 двузначных чисел.

2. Подходят 17, 27, 37, 47, 57, 67, 77, 87, 97 - девять чисел.

3. $P = \dfrac{9}{90} = \dfrac{1}{10}$ .

Ответ: $\dfrac{1}{10}$ .

Задание 13

В лотерее выпущено 250 билетов, 15 из них выигрышные. Найдите вероятность выигрыша одного случайно купленного билета.

Ответ и решение к заданию 13

1. $P = \dfrac{15}{250}$ .

2. Сокращаем: $\dfrac{15}{250} = \dfrac{3}{50} = 0,06$ .

Ответ: 0,06.

Задание 14

В партии 500 ламп, из них 8 неисправных. Найдите вероятность того, что случайно выбранная лампа исправна.

Ответ и решение к заданию 14

1. Вероятность неисправности $\dfrac{8}{500} = 0,016$ .

2. Исправность - противоположное событие: $1 - 0,016 = 0,984$ .

Ответ: 0,984.

Задание 15

В автопарке 18 белых, 12 жёлтых и 20 чёрных автомобилей. Случайно назначают один автомобиль. Найдите вероятность, что он жёлтый.

Ответ и решение к заданию 15

1. Всего $18 + 12 + 20 = 50$ автомобилей.

2. Жёлтых 12, поэтому $P = \dfrac{12}{50} = 0,24$ .

Ответ: 0,24.

Задание 16

Книга содержит 200 страниц. Случайно выбирают номер страницы. Найдите вероятность того, что он оканчивается цифрой 3.

Ответ и решение к заданию 16

1. Подходят 3, 13, 23, …, 193 - по одному числу в каждом десятке.

2. Таких номеров 20 из 200.

3. $P = \dfrac{20}{200} = 0,1$ .

Ответ: 0,1.

Задание 17

Честный кубик бросают один раз. Найдите вероятность выпадения составного числа.

Ответ и решение к заданию 17

1. На гранях числа 1-6; составные среди них 4 и 6. Число 1 не является ни простым, ни составным.

2. $P = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$ .

Ответ: $\dfrac{1}{3}$ .

Задание 18

В барабане лежат карточки с числами от 1 до 12. Выбирают одну. Найдите вероятность выбрать простое число.

Ответ и решение к заданию 18

1. Простые числа от 1 до 12: 2, 3, 5, 7, 11 - пять чисел.

2. $P = \dfrac{5}{12}$ .

Ответ: $\dfrac{5}{12}$ .

Задание 19

Случайно выбирают одно целое число от −10 до 10 включительно. Найдите вероятность выбрать неотрицательное число.

Ответ и решение к заданию 19

1. Всего $10 - ( - 10) + 1 = 21$ число.

2. Неотрицательные: 0, 1, …, 10 - 11 чисел.

3. $P = \dfrac{11}{21}$ .

Ответ: $\dfrac{11}{21}$ .

Задание 20

Повторение: прогрессии, смеси и экстремумы.

В геометрической прогрессии $b_{1} = 6$ , $q = 2$ . Найдите сумму первых пяти членов.

Ответ и решение к заданию 20

1. $S_{5} = \dfrac{6\left( 2^{5} - 1 \right)}{(2 - 1)}$ .

2. $S_{5} = 6 \cdot 31 = 186$ .

Ответ: 186.

02. Средний уровень: задания 21-35

Задание 21

Из колоды в 36 карт случайно вытаскивают одну. Найдите вероятность получить карту червовой масти.

Ответ и решение к заданию 21

1. В колоде четыре масти по 9 карт, значит червей 9.

2. $P = \dfrac{9}{36} = \dfrac{1}{4} = 0,25$ .

Ответ: 0,25.

Задание 22

Из колоды в 36 карт случайно вытаскивают одну. Найдите вероятность получить туза.

Ответ и решение к заданию 22

1. В колоде четыре туза - по одному каждой масти.

2. $P = \dfrac{4}{36} = \dfrac{1}{9}$ .

Ответ: $\dfrac{1}{9}$ .

Задание 23

Из колоды в 36 карт случайно вытаскивают одну. Найдите вероятность получить короля треф.

Ответ и решение к заданию 23

1. Король треф - одна конкретная карта из 36.

2. $P = \dfrac{1}{36}$ .

Ответ: $\dfrac{1}{36}$ .

Задание 24

Из стандартной колоды в 52 карты выбирают одну. Картинками считаются валет, дама и король. Найдите вероятность выбрать картинку.

Ответ и решение к заданию 24

1. В каждой из четырёх мастей по три картинки, всего $4 \cdot 3 = 12$ .

2. $P = \dfrac{12}{52} = \dfrac{3}{13}$ .

Ответ: $\dfrac{3}{13}$ .

Задание 25

Случайно выбирают двузначное число. Найдите вероятность того, что оно кратно 9.

Ответ и решение к заданию 25

1. Двузначные кратные 9: 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99 - десять чисел.

2. Всего двузначных чисел 90.

3. $P = \dfrac{10}{90} = \dfrac{1}{9}$ .

Ответ: $\dfrac{1}{9}$ .

Задание 26

Случайно выбирают трёхзначное число. Найдите вероятность того, что оно начинается цифрой 7.

Ответ и решение к заданию 26

1. Всего трёхзначных чисел $999 - 100 + 1 = 900$ .

2. От 700 до 799 включительно 100 чисел.

3. $P = \dfrac{100}{900} = \dfrac{1}{9}$ .

Ответ: $\dfrac{1}{9}$ .

Задание 27

Случайно выбирают трёхзначное число. Найдите вероятность того, что оно чётное.

Ответ и решение к заданию 27

1. Трёхзначные числа идут от 100 до 999; всего 900.

2. Ровно половина последовательных целых чисел чётные: 450.

3. $P = \dfrac{450}{900} = \dfrac{1}{2}$ .

Ответ: $\dfrac{1}{2}$ .

Задание 28

Случайно выбирают один из 12 месяцев. Найдите вероятность того, что в нём 31 день.

Ответ и решение к заданию 28

1. 31 день имеют январь, март, май, июль, август, октябрь и декабрь - 7 месяцев.

2. $P = \dfrac{7}{12}$ .

Ответ: $\dfrac{7}{12}$ .

Задание 29

Случайно выбирают один из семи дней недели. Выходными считаются суббота и воскресенье. Найдите вероятность выбрать выходной день.

Ответ и решение к заданию 29

1. Всего 7 дней недели; выходные - суббота и воскресенье.

2. $P = \dfrac{2}{7}$ .

Ответ: $\dfrac{2}{7}$ .

Задание 30

Повторение: прогрессии, смеси и экстремумы.

Смешали 150 г $20\%$ -го раствора и 250 г $8\%$ -го раствора. Найдите концентрацию смеси.

Ответ и решение к заданию 30

1. Масса вещества: $0,2 \cdot 150 + 0,08 \cdot 250 = 30 + 20 = 50$ г.

2. Масса смеси $150 + 250 = 400$ г.

3. Концентрация $\dfrac{50}{400} = 0,125 = 12,5\%$ .

Ответ: $12,5\%$ .

Задание 31

Вероятность попадания стрелка в мишень одним выстрелом равна 0,72. Найдите вероятность промаха.

Ответ и решение к заданию 31

1. Попадание и промах - противоположные события одного выстрела.

2. $P\left( \text{промах} \right) = 1 - 0,72 = 0,28$ .

Ответ: 0,28.

Задание 32

Доля бракованных изделий равна 0,03. Найдите вероятность выбрать небракованное изделие.

Ответ и решение к заданию 32

1. Брак и отсутствие брака дополняют друг друга до 1.

2. $P = 1 - 0,03 = 0,97$ .

Ответ: 0,97.

Задание 33

Автобус опаздывает в $8\%$ поездок. Найдите вероятность того, что случайно выбранная поездка пройдёт без опоздания.

Ответ и решение к заданию 33

1. Вероятность опоздания $8\% = 0,08$ .

2. $P\left( \text{без опоздания} \right) = 1 - 0,08 = 0,92$ .

Ответ: 0,92.

Задание 34

В экзаменационном наборе 30 билетов. Ученик выучил 27 из них. Найдите вероятность вытянуть невыученный билет.

Ответ и решение к заданию 34

1. Невыученных билетов $30 - 27 = 3$ .

2. $P = \dfrac{3}{30} = 0,1$ .

Ответ: 0,1.

Задание 35

При 240 подбрасываниях монеты орёл выпал 132 раза. Найдите относительную частоту орла.

Ответ и решение к заданию 35

1. Частота равна $\dfrac{132}{240}$ .

2. Сокращаем на 12: $\dfrac{11}{20} = 0,55$ .

Ответ: 0,55.

03. Повышенный уровень: задания 36-40

Задание 36

При проверке 800 изделий обнаружили 24 дефектных. Оцените вероятность дефекта.

Ответ и решение к заданию 36

1. Относительная частота дефекта $\dfrac{24}{800}$ .

2. $\dfrac{24}{800} = \dfrac{3}{100} = 0,03$ .

Ответ: Примерно 0,03.

Задание 37

Вероятность покупки после обращения оценивается как 0,18. Сколько покупок можно ожидать примерно среди 1500 похожих обращений?

Ответ и решение к заданию 37

1. Ожидаемое число равно Np.

2. $1500 \cdot 0,18 = 270$ .

Ответ: Примерно 270 покупок.

Задание 38

В 1000 наблюдений событие произошло 247 раз. Найдите его относительную частоту и отклонение этой частоты от 0,25 по модулю.

Ответ и решение к заданию 38

1. Частота: $\dfrac{247}{1000} = 0,247$ .

2. Отклонение: $|0,247 - 0,25| = 0,003$ .

Ответ: 0,247; отклонение 0,003.

Задание 39

Повторение: прогрессии, смеси и экстремумы.

Для функции $f(x) = x^{2} - 6x + 5$ найдите точку минимума.

Ответ и решение к заданию 39

1. $f\prime(x) = 2x - 6$ .

2. Приравниваем производную к нулю: $2x - 6 = 0$ , $x = 3$ .

3. Коэффициент при $x^{2}$ положителен, поэтому в $x = 3$ достигается минимум.

Ответ: $x = 3$ .

Задание 40

Случайно выбирают целое число от 1 до 120 включительно. Найдите вероятность того, что оно кратно 6 или 10.

Ответ и решение к заданию 40

1. Всего 120 равновозможных чисел.

2. Кратных 6: $\dfrac{120}{6} = 20$ ; кратных 10: $\dfrac{120}{10} = 12$ .

3. Числа, кратные и 6, и 10, кратны $НОК(6;10) = 30$ ; их $\dfrac{120}{30} = 4$ .

4. Благоприятных чисел $20 + 12 - 4 = 28$ .

5. $P = \dfrac{28}{120} = \dfrac{7}{30}$ .

Ответ: $\dfrac{7}{30}$ .

Вернуться к теории и разобранным примерам