Урок 3. Логарифмы: 40 заданий с решениями

1. Представляем основание как $8=2^3$, а аргумент как $2^5$.

2. Ищем показатель $t$, для которого ${\left(2^3\right)}^t=2^5$, то есть $3t=5$.

3. Следовательно, $t=\frac{5}{3}$.

Ответ. $\frac{5}{3}$

$\frac13=3^{-1}$, $81=3^4$. Из $(3^{-1})^t=3^4$ следует $-t=4$.

Ответ. $-4$.

1. Представляем основание как $125=5^3$, а аргумент как $5^2$.

2. Ищем показатель $t$, для которого ${\left(5^3\right)}^t=5^2$, то есть $3t=2$.

3. Следовательно, $t=\frac{2}{3}$.

Ответ. $\frac{2}{3}$

Представляем основание и аргумент как степени двойки: $(2^{\frac{1}{2}})^t=2^3$, откуда $t=6$.

Ответ. $6$.

1. Представляем основание как $16=2^4$, а аргумент как $2^{-3}$.

2. Ищем показатель $t$, для которого ${\left(2^4\right)}^t=2^{-3}$, то есть $4t=-3$.

3. Следовательно, $t=-\frac{3}{4}$.

Ответ. $-\frac{3}{4}$

$\sqrt{32}=2^{\frac{5}{2}}$, поэтому логарифм равен $\frac52$.

Ответ. $\frac52$.

1. Представляем основание как $25=5^2$, а аргумент как $5^{-1}$.

2. Ищем показатель $t$, для которого ${\left(5^2\right)}^t=5^{-1}$, то есть $2t=-1$.

3. Следовательно, $t=-\frac{1}{2}$.

Ответ. $-\frac{1}{2}$

Аргумент равен $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{2^2}=2^{\frac{-1}{2}}$. Основание $2^{-1}$, значит, ответ равен $\frac12$.

Ответ. $\frac12$.

1. Основание логарифма удовлетворяет условиям: $2>0$, $2\ne 1$, аргумент $7>0$.

2. По основному тождеству $2^{{log}_{2}7}=7$.

3. Поэтому всё выражение равно $3\cdot 7=21$.

Ответ. $21$

$9^{\log_3 2}=3^{2\log_3 2}=(3^{\log_3 2})^2=2^2$.

Ответ. $4$.

1. Основание логарифма удовлетворяет условиям: $5>0$, $5\ne 1$, аргумент $4>0$.

2. По основному тождеству $5^{{log}_{5}4}=4$.

3. Поэтому всё выражение равно $6\cdot 4=24$.

Ответ. $24$

$5^{1-\log_5 2}=\frac5{5^{\log_5 2}}=\frac52$.

Ответ. $\frac52$.

1. По определению требуется найти $t$, при котором ${\left(2\right)}^t=8$.

2. Непосредственная запись аргумента как степени основания даёт $t=3$.

3. Знак согласован с монотонностью: основание больше 1, а аргумент расположен по соответствующую сторону от 1.

Ответ. $3$

При основании между 0 и 1 логарифм убывает. Поскольку $3>1$, имеем $\log_{\frac15}3<\log_{\frac15}1=0$.

Ответ. Отрицательный.

1. По определению требуется найти $t$, при котором ${\left(\frac{1}{3}\right)}^t=9$.

2. Непосредственная запись аргумента как степени основания даёт $t=-2$.

3. Знак согласован с монотонностью: основание лежит между 0 и 1, а аргумент расположен по соответствующую сторону от 1.

Ответ. $-2$

1. Аргументы $8$ и $4$ положительны, а основание $2>0$, $2\ne 1$.

2. Поэтому применима формула ${log}_{a}u+{log}_{a}v={log}_a\left(uv\right)$.

3. Получаем ${log}_2(8\cdot 4)={log}_{2}32$.

4. Так как $32=2^5$, логарифм равен $5$.

5. Все исходные логарифмы определены, поэтому дополнительных ограничений нет.

Ответ. $5$

1. Аргументы $9$ и $27$ положительны, а основание $3>0$, $3\ne 1$.

2. Поэтому применима формула ${log}_{a}u+{log}_{a}v={log}_a\left(uv\right)$.

3. Получаем ${log}_3(9\cdot 27)={log}_{3}243$.

4. Так как $243=3^5$, логарифм равен $5$.

5. Все исходные логарифмы определены, поэтому дополнительных ограничений нет.

Ответ. $5$

Оба аргумента положительны. Разность равна $\log_2\frac{12}{3}=\log_2 4=2$.

Ответ. $2$.

1. Исходный знаменатель требует $x\ne 3$.

2. Разлагаем числитель: $x^2-9=(x-3)(x+3)$.

3. Сокращаем ненулевой на ОДЗ множитель $x-3$.

Ответ. $x+3$, $x\ne 3$

1. Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое $\sqrt{7}+2$.

2. В знаменателе получаем $7-4=3$.

3. Числитель равен $\sqrt{7}+2$.

4. Сопряжённое положительно, поэтому умножение законно.

5. Ответ: $\frac{\sqrt{7}+2}{3}$.

Ответ. $\frac{\sqrt{7}+2}{3}$

1. Аргументы $49$ и $7$ положительны, а основание $7>0$, $7\ne 1$.

2. Поэтому применима формула ${log}_{a}u+{log}_{a}v={log}_a\left(uv\right)$.

3. Получаем ${log}_7(49\cdot 7)={log}_{7}343$.

4. Так как $343=7^3$, логарифм равен $3$.

5. Все исходные логарифмы определены, поэтому дополнительных ограничений нет.

Ответ. $3$

Числитель равен $\log_3\frac19=-2$, знаменатель равен 2 и не равен нулю.

Ответ. $-1$.

1. По формуле замены основания отношение равно ${log}_{8}32$; вычислим его через общее основание.

2. $32=2^5$, поэтому числитель равен $5$.

3. $8=2^3$, поэтому знаменатель равен $3$.

4. Знаменатель не равен нулю, поскольку $8\ne 1$.

5. Искомое отношение равно $\frac{5}{3}$.

Ответ. $\frac{5}{3}$

По формуле замены основания отношение равно $\log_2 32=5$. Знаменатель ненулевой, поскольку $2\ne1$.

Ответ. $5$.

1. По формуле замены основания отношение равно ${log}_{25}125$; вычислим его через общее основание.

2. $125=5^3$, поэтому числитель равен $3$.

3. $25=5^2$, поэтому знаменатель равен $2$.

4. Знаменатель не равен нулю, поскольку $25\ne 1$.

5. Искомое отношение равно $\frac{3}{2}$.

Ответ. $\frac{3}{2}$

$\log_{49}8=\frac{\log_7 2^3}{\log_7 7^2}=\frac32\log_7 2$. Сокращаем ненулевой логарифм.

Ответ. $\frac32$.

По замене основания произведение равно $\frac{\ln3}{\ln2}\frac{\ln5}{\ln3}\frac{\ln16}{\ln5}=\frac{\ln16}{\ln2}=4$. Все основания положительны и не равны 1.

Ответ. $4$.

1. ОДЗ исходных логарифмов: $x-1>0$ и $x-5>0$, то есть $x>5$.

2. На ОДЗ объединяем логарифмы: ${log}_2\left((x-1)(x-5)\right)={log}_{2}12$.

3. Поскольку логарифм с основанием 2 строго возрастает, аргументы равны.

4. Получаем $(x-1)(x-5)=12$; корни квадратного уравнения равны $7$ и $-1$.

5. ОДЗ оставляет только $x=7$; его подстановка даёт положительные аргументы и произведение $12$.

Ответ. $7$

Шаг 1. Требуются $x^2-5x+6>0$ и $x>3$; совместно это $x>3$.

Шаг 2. На ОДЗ приравниваем аргументы: $x^2-7x+12=0$, откуда $x=3$ или $x=4$.

Шаг 3. При $x=3$ аргументы равны нулю, корень исключаем. При $x=4$ оба аргумента равны 2.

Ответ. $4$.

1. ОДЗ исходных логарифмов: $x+1>0$ и $x-4>0$, то есть $x>4$.

2. На ОДЗ объединяем логарифмы: ${log}_2\left((x+1)(x-4)\right)={log}_{2}14$.

3. Поскольку логарифм с основанием 2 строго возрастает, аргументы равны.

4. Получаем $(x+1)(x-4)=14$; корни квадратного уравнения равны $6$ и $-3$.

5. ОДЗ оставляет только $x=6$; его подстановка даёт положительные аргументы и произведение $14$.

Ответ. $6$

Шаг 1. ОДЗ: $x>1$, $x\ne2$.

Шаг 2. По определению $x+1=(x-1)^2$, то есть $x(x-3)=0$.

Шаг 3. Кандидат 0 вне ОДЗ; 3 допустим и даёт $\log_2 4=2$.

Ответ. $3$.

Шаг 1. Исходная ОДЗ: $x>1$.

Шаг 2. На ней $\log_2(x-1)^2=\log_2(3x+1)$, поэтому $(x-1)^2=3x+1$. Получаем $x(x-5)=0$.

Шаг 3. Только 5 принадлежит ОДЗ. Проверка: $2\log_2 4=\log_2 16=4$.

Ответ. $5$.

Шаг 1. ОДЗ: $x-1>0$ и ${log}_2(x-1)\ne 1$, то есть $x>1$ и $x\ne 3$.

Шаг 2. Введём замену $t={log}_2(x-1)$. Получаем рациональное неравенство $\frac{t}{t-1}\ge 0$, где $t\ne 1$.

Шаг 3. Критические точки 0 и 1. По методу интервалов $t\le 0$ или $t>1$.

Шаг 4. Так как основание 2 больше 1, из $t\le 0$ следует $0<x-1\le 1$, то есть $1<x\le 2$; из $t>1$ следует $x-1>2$, то есть $x>3$.

Проверка полноты. Замена взаимно однозначна на $x>1$; точка $x=3$ исключена как нуль знаменателя.

Ответ. $(1;2]\cup (3;+\infty )$.

Шаг 1. ОДЗ: $x>0$ и ${log}_{2}x\ne 2$, то есть $x>0,x\ne 4$.

Шаг 2. Пусть $t={log}_{2}x$. Тогда нужно решить $\frac{(t-1)(t-3)}{t-2}\le 0$.

Шаг 3. Критические точки: 1, 2, 3; точка 2 выколота. Таблица знаков даёт $t\le 1$ или $2<t\le 3$.

Шаг 4. Возвращаясь к $x$ и учитывая возрастание $2^t$, получаем $0<x\le 2$ или $4<x\le 8$.

Проверка полноты. Все нули числителя включены, единственный нуль знаменателя исключён; иных критических точек нет.

Ответ. $(0;2]\cup (4;8]$.

Шаг 1. ОДЗ: $x>0,x\ne 1$. Обозначим $t={log}_{2}x$, тогда $t\ne 0$.

Шаг 2. Имеем ${log}_{x}4=\frac{2}{t}$ и ${log}_{4}x=\frac{t}{2}$. Поэтому $\frac{4-t^2}{2t}\ge 0$.

Шаг 3. Критические точки $-2,0,2$. Метод интервалов даёт $t\le -2$ или $0<t\le 2$.

Шаг 4. Из $t\le -2$ получаем $0<x\le \frac{1}{4}$; из $0<t\le 2$ - $1<x\le 4$.

Проверка полноты. Точка $t=0$, соответствующая $x=1$, исключена; точки $t=\pm 2$ дают равенство и включены.

Ответ. $(0;\frac{1}{4}]\cup (1;4]$.

Шаг 1. ОДЗ: $x-1>0,x-1\ne 1,5-x>0$. Значит, $1<x<5$ и $x\ne 2$.

Шаг 2. Если $x>2$, основание больше 1. Тогда $5-x>x-1$, откуда $x<3$. Получаем $2<x<3$.

Шаг 3. Если $1<x<2$, основание лежит между 0 и 1. Тогда знак сравнения меняется: требуется $0<5-x<x-1$, то есть $x>3$, что противоречит рассматриваемому случаю.

Шаг 4. Объединение допустимых случаев даёт $2<x<3$.

Проверка. При $x\in (2;3)$ основание больше 1 и аргумент действительно больше основания; границы дают запрещённое основание или равенство.

Ответ. $(2;3)$.

Шаг 1. Так как основание 2 больше 1, неравенство равносильно системе $0<x^2-5x+6\le 2$.

Шаг 2. Первое условие: $(x-2)(x-3)>0$, то есть $x<2$ или $x>3$.

Шаг 3. Второе условие: $x^2-5x+4\le 0$, то есть $(x-1)(x-4)\le 0$ и $1\le x\le 4$.

Шаг 4. Пересекая множества, получаем $[1;2)\cup (3;4]$.

Проверка полноты. Нули аргумента $x=2$ и $x=3$ исключены, а точки $x=1$ и $x=4$ дают ${log}_{2}2=1$ и включаются.

Ответ. $[1;2)\cup (3;4]$.

Шаг 1. Равенство логарифма единице эквивалентно $x^2-2ax+a+2=2$. Положительность аргумента автоматически выполнена, потому что он равен 2.

Шаг 2. Получаем квадратное уравнение $x^2-2ax+a=0$.

Шаг 3. Его дискриминант $D=4a^2-4a=4a(a-1)$. При $D>0$ корней два, при $D=0$ один, при $D<0$ корней нет.

Шаг 4. Следовательно, два решения получаются при $a<0$ или $a>1$; одно — при $a=0$ или $a=1$; ни одного — при $0<a<1$.

Проверка полноты. Равносильный переход не добавляет ограничений: при каждом корне исходный аргумент точно равен $2>0$.

Ответ: два решения при $a<0$ или $a>1$; одно решение при $a=0$ или $a=1$; нет решений при $0<a<1$.

Шаг 1. ОДЗ для основания логарифма: $x>0,x\ne 1$.

Шаг 2. Положим $t={log}_{2}x$. Тогда $t\ne 0,{log}_{x}16=\frac{4}{t}$, а ${log}_{4}x=\frac{t}{2}$.

Шаг 3. Уравнение принимает вид $\frac{4}{t}=a\cdot \frac{t}{2}$, то есть $a\cdot t^2=8$.

Шаг 4. Если $a>0$, имеются два ненулевых значения $t=\pm \sqrt{\frac{8}{a}}$, а значит, два различных положительных $x$. При $a\le 0$ решений нет.

Проверка полноты. Соответствие $x=2^t$ взаимно однозначно, а найденные $t$ не равны нулю.

Ответ. 2 решения при $a>0;0$ решений при $a\le 0$.

Шаг 1. ОДЗ: $a<x<4$. Следовательно, при $a\ge 4$ решений быть не может.

Шаг 2. На ОДЗ объединяем логарифмы: $(x-a)(4-x)=2$.

Шаг 3. Функция $f\left(x\right)=(x-a)(4-x)$ - обращённая вниз парабола, равная нулю на концах интервала $(a;4)$. Её максимум достигается в середине и равен $\frac{{(4-a)}^2}{4}$.

Шаг 4. Прямая $y=2$ пересекает эту дугу дважды, если $\frac{{(4-a)}^2}{4}>2$, касается при равенстве и не пересекает при меньшем максимуме.

Шаг 5. С учётом $a<4$ получаем: два решения при $a<4-2\sqrt{2}$; одно при $a=4-2\sqrt{2}$; ни одного при $a>4-2\sqrt{2}$.

Проверка полноты. На каждой стороне от вершины парабола строго монотонна, поэтому больше двух пересечений невозможно; оба пересечения лежат внутри ОДЗ.

Ответ. 2 решения при $a<4-2\sqrt{2};1$ при $a=4-2\sqrt{2};0$ при $a>4-2\sqrt{2}$.