Урок 5. Таблицы, диаграммы и статистические данные

01. Как читать таблицу без ошибок

Таблица связывает объекты с их характеристиками. Сначала прочитайте название, затем заголовки строк и столбцов, потом единицы измерения. Найденная ячейка имеет смысл только вместе с этими подписями. Число 3,2 в столбце «млн рублей» означает 3 200 000 рублей.

Полезный порядок работы:

1. Выделите вопрос: требуется значение, сумма, разность, отношение или процент?
2. Найдите нужный объект и нужную характеристику.
3. Проверьте единицы и условия отбора, например «не менее 24 месяцев».
4. Выполните вычисление и дайте ответ именно в запрошенной форме.

Фраза «на сколько больше» требует вычитания. Фраза «во сколько раз больше» - деления на сравниваемое значение, если оно ненулевое. Для «на сколько процентов больше» разность делят на исходную базу и умножают на 100%.

02. Линейный график и столбчатая диаграмма

На линейном графике по горизонтальной оси часто откладывают время, а по вертикальной - измеряемую величину. Чтобы найти значение в момент времени, найдите его на горизонтальной оси, перейдите к графику и прочитайте вертикальную координату.

Проверьте шкалу. Одно деление может означать 1, 2, 5 или другое число единиц. Ось не обязана начинаться с нуля. Нельзя оценивать разность только по визуальной высоте без чтения подписей.

Изменение величины равно конечному значению минус начальное. Если температура упала с 8 °C до 3 °C, изменение равно −5 °C, а снижение - 5 °C. Средняя скорость изменения за 2 часа равна $\frac{3-8}{2}=-2{,}5$ °C в час.

Столбчатая диаграмма сравнивает категории. Для каждого столбца определяют его подпись и значение по общей шкале. Самый высокий столбец показывает максимум величины, но ответом может требоваться название категории, номер месяца или само число - это определяется вопросом.

03. Круговая диаграмма: часть и целое

Весь круг соответствует 100% или 360°. Поэтому сектор с углом 90° составляет $\frac{90}{360}=\frac14=25\%$ целого. Если на диаграмме сразу подписаны проценты, повторно измерять углы не нужно.

Чтобы найти количество объектов в категории, умножьте общее количество на её долю. При 240 участниках доля 25% означает 60 участников. Если нужно несколько непересекающихся категорий, можно сначала сложить их доли.

При переводе объектов из одной группы в другую изменяются обе группы. Если в первой 126 человек, во второй 90, разность равна 36. Перевод одного человека уменьшает эту разность на 2, поэтому для равенства нужно перевести 18 человек.

04. Среднее арифметическое и взвешенное среднее

Среднее арифметическое - сумма всех значений, делённая на их количество: $\overline{x}=\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}$. Повторяющиеся значения учитываются столько раз, сколько они встречаются. Например, среднее чисел 3, 3 и 9 равно 5, а не 6.

Если известны среднее и число наблюдений, можно восстановить сумму: $S=n\overline{x}$. Для пяти чисел со средним 12 сумма равна 60. Если четыре известных числа дают сумму 43, пятое равно 17.

Когда нужны веса

Если значения встречаются с разной частотой, каждое значение умножают на число его повторений. Среднее трёх оценок 4 и двух оценок 5 равно $\frac{3\cdot4+2\cdot5}{3+2}=4{,}4$.

Если веса заданы долями и в сумме равны 1, итог можно найти суммой произведений. При весах 40% и 60% результаты 70 и 90 дают $70\cdot0{,}4+90\cdot0{,}6=82$. При произвольных положительных весах сумму произведений нужно разделить на сумму весов.

05. Медиана, размах и частота

Для медианы сначала упорядочивают данные. При нечётном количестве берут центральное число. При чётном - среднее двух центральных. У набора 2, 5, 7, 20 медиана равна $\frac{5+7}{2}=6$. Она может отсутствовать среди исходных значений.

Размах - максимум минус минимум. У того же набора размах равен $20-2=18$. Среднее, медиана и размах отвечают на разные вопросы: их нельзя подменять друг другом.

Относительная частота события равна числу его наступлений, делённому на общее число наблюдений. Если событие произошло 18 раз из 600, частота равна $\frac{18}{600}=0{,}03=3\%$. Частота находится между 0 и 1, а процент - между 0% и 100%.

Как сравнивать разные группы

При разных объёмах выборки сравнивайте доли, если вопрос относится к распространённости события. Четырнадцать возвратов из 350 - это 4%, а восемнадцать из 600 - 3%. В первой группе возвратов меньше по количеству, но больше по доле.

Вычисления по графикам сохраняйте точными, пока условие не потребует округления. Например, среднее 7, 15 и 12 равно $\frac{34}{3}$; запись 11,3 является только приближением.

06. Примеры с пошаговыми решениями

07. Основные формулы

$$\overline{x} = \frac{x_{1} + x_{2} + \ldots + x_{n}}{n}$$

$$R = x_{\max} - x_{\min}$$

$$f = \frac{m}{n}$$

08. Вопросы по теме

Чем медиана отличается от среднего?

Среднее зависит от суммы всех значений. Медиана определяется серединой упорядоченного ряда. Одно очень большое значение может заметно изменить среднее, почти не повлияв на медиану.

Можно ли сравнить группы по одному числу событий?

Можно, если вопрос именно о количестве. Если сравнивается доля событий и размеры групп разные, нужно разделить число событий на общий объём каждой группы.

09. Практика по теме

Проверьте понимание правил на отдельной странице: 40 заданий с ответами и решениями. Начните с первого уровня; к следующему переходите, когда можете объяснить каждый шаг.

Для повторения: единицы измерения, масштаб и округление.

Следующая тема: рациональные и иррациональные уравнения.