Урок 30. Тестовые задания (40 вопросов)

1. Сумма цифр 4+7+3+4=18 делится на 9.

Ответ

Да

1. Последние две цифры 12 делятся на 4.

Ответ

Да

1. Последние три цифры 248 делятся на 8.

Ответ

Да

1. Сумма цифр равна 15, остаток 15 при делении на 9 равен 6.

Ответ

6

1. $572 = 5 \cdot 100 + 7 \cdot 10 + 2$ .

Ответ

500 + 70 + 2

1. Число оканчивается нулём и делится на 5; сумма цифр 12 не делится на 9.

Ответ

Нет

1. Остаток числа при делении на 25 определяется двумя последними цифрами.

2. Среди чисел от 00 до 99 кратны 25 числа 00, 25, 50 и 75.

Ответ

00, 25, 50, 75

1. $12 \cdot 9 = 108$ .

Ответ

108

Числа, кратные 12, идут с шагом 12. Предыдущее кратное $12\cdot8=96$ ещё двузначное, а $12\cdot9=108$ уже трёхзначное. Поэтому 108 - наименьшее.

1. $(2 + 2) - (7 + 8) = - 11$ делится на 11.

Ответ

Да

1. $9 + 0 + 8 + 0 + 7 = 24$ .

Ответ

24

1. $10 \equiv - 1\ (mod\ 11)$ ; нечётная степень даёт −1, затем +3 даёт остаток 2.

Ответ

2

1. 20 не делится на 3, значит и число не делится на 3.

Ответ

Нет

1. Подберём конструкцию: 4680.

2. Все цифры различны и чётны.

3. Последняя цифра 0, сумма цифр 18; число делится на 5 и на 9, значит, делится на 45.

Ответ

4680

1. Подберём конструкцию: 202200.

2. Последние три цифры 200 делятся на 8.

3. Сумма цифр равна 6 и делится на 3; следовательно, число делится на 24.

Ответ

202200

1. Подберём конструкцию: 1152.

2. Произведение цифр равно 10.

3. Последние две цифры 52 делятся на 4, сумма цифр 9 делится на 3.

Ответ

1152

1. Подберём конструкцию: 565.

2. $565 = 3 \cdot 188 + 1$ ; $565 = 4 \cdot 141 + 1$ .

3. Цифры 5, 6, 5 больше 4.

Ответ

565

1. Обозначим $y = x + \pi$ . Разложим: $\left( 2\cos y - 1 \right)\left( \cos y + 1 \right) = 0$ .

2. При $\cos y = \frac{1}{2}$ : $y = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ ; при $\cos y = - 1$ : $y = \pi + 2\pi n$ .

3. Возвращаемся к x и отбираем корни на заданном отрезке.

4. Подходящие корни: $- \frac{2\pi}{3},\ 0,\ \frac{2\pi}{3}$ .

5. Общее решение пункта а: $x = \frac{2\pi n}{3}$ , где $n \in Z$ .

Ответ

а) $x = \frac{2\pi n}{3}$ ; $n \in Z$ .

б)

$$- \frac{2\pi}{3};0;\frac{2\pi}{3}$$

1. Критические точки: $1,\ 4,\ 7$ ; точка $4$ не входит в ОДЗ.

2. Расставляем знаки множителей на четырёх промежутках. Кратности всех нулей нечётные, поэтому знак меняется в каждой критической точке.

3. Выбираем нужные промежутки и получаем $( - \infty;1\rbrack \cup (4;7\rbrack$ .

Ответ

$$( - \infty;1\rbrack \cup (4;7\rbrack$$

1. Сумма остатков перед начислениями равна $1200 \cdot \frac{6 + 1}{2} = 4200$ тыс. рублей.

2. Переплата равна $1620 - 1200 = 420$ тыс. рублей.

3. Из $\frac{p}{100} \cdot 4200 = 420$ получаем $p = 10$ .

4. Подстановка даёт 420 тыс. рублей процентов, поэтому ставка найдена верно.

Ответ

10%

1. $2031 \equiv 3\ (mod\ 4)$ , а сумма двух квадратов не даёт остаток 3 по модулю 4.

Ответ

Нет

1. Подберём конструкцию: 1296.

2. Проверка делимости: $1296 = 36 \cdot 36$ .

3. Цифры 1, 2, 9 и 6 различны; их сумма равна 18.

Ответ

1296

1. Подберём конструкцию: 1408.

2. Проверка делимости: $1408 = 44 \cdot 32$ .

3. Первая и последняя цифры дают 1 + 8 = 9; в записи четыре различные цифры.

Ответ

1408

1. Подберём конструкцию: 10095.

2. Проверка делимости: $10095 = 15 \cdot 673$ .

3. В записи ровно два нуля; сумма цифр 1 + 0 + 0 + 9 + 5 = 15.

Ответ

10095

1. Подберём конструкцию: 1278.

2. Проверка делимости: $1278 = 18 \cdot 71$ .

3. Цифры 1 < 2 < 7 < 8 расположены в строго возрастающем порядке.

Ответ

1278

1. Подберём конструкцию: 10775.

2. Проверка делимости: $10775 = 25 \cdot 431$ .

3. Число содержит нуль; сумма цифр 1 + 0 + 7 + 7 + 5 = 20.

Ответ

10775

1. Подберём конструкцию: 1036.

2. Проверка делимости: $1036 = 28 \cdot 37$ .

3. Цифры 1, 0, 3, 6 различны; первая цифра нечётна.

Ответ

1036

1. Подберём конструкцию: 11232.

2. Проверка делимости: $11232 = 72 \cdot 156$ .

3. Каждая цифра записи принадлежит множеству {1, 2, 3, 6}.

Ответ

11232

1. Подберём конструкцию: 1056.

2. Проверка делимости: $1056 = 24 \cdot 44$ .

3. Сумма цифр 1 + 0 + 5 + 6 = 12; последняя цифра 6 ненулевая.

Ответ

1056

1. Для числа $100a + 10b + c$ разность с перевёрнутым равна $99(a - c)$ .

2. Она обязана делиться на 99, а 2025 на 99 не делится.

Ответ

Нет

1. Подберём конструкцию: 321 и 123.

2. $321 - 123 = 198$ .

3. Числа 321 и 123 записаны одними и теми же цифрами в обратном порядке.

Ответ

321 и 123

1. В десятичной записи $N = a_{0} + 10a_{1} + 10^{2}a_{2} + \ldots$ .

2. Так как $10^{k} \equiv 1\ (mod\ 9)$ , то $N \equiv a_{0} + a_{1} + \ldots\ (mod\ 9)$ .

Ответ

Да

1. Подберём конструкцию: 920.

2. Проверим число 920.

3. $920 - (9 + 2 + 0) = 920 - 11 = 909$ .

4. Следовательно, требуемое значение получить можно.

Ответ

920

1. $(10a + b) + (10b + a) = 11(a + b)$ , поэтому сумма всегда кратна 11.

Ответ

Да

1. Подберём конструкцию: 100.

2. Сумма цифр числа 100 равна 1, и 100 = 100 · 1.

Ответ

100

1. Подберём конструкцию: 122.

2. $122 = 5 \cdot 24 + 2$ ; $122 = 7 \cdot 17 + 3$ .

Ответ

122

1. Подберём конструкцию: 9009.

2. Сумма цифр равна 18.

3. По признаку делимости на 11: $(9 + 0) - (0 + 9) = 0$ .

Ответ

9009

1. Сумма пяти цифр, каждая 0 или 5, равна 5k, где 0 ≤ k ≤ 5.

2. Чтобы сумма делилась на 9, k должно делиться на 9; возможно только k = 0, но тогда первая цифра равна нулю и число не является пятизначным.

Ответ

Нет

1. Подберём конструкцию: 1375.

2. Последняя цифра 5 обеспечивает делимость на 5; цифры 1, 3, 7, 5 различны и нечётны.

Ответ

1375

1. Подберём конструкцию: 1881.

2. $1881 = 99 \cdot 19$ ; первая и последняя цифры равны 1.

Ответ

1881

1. При делении на 9 число и сумма его цифр дают одинаковые остатки.

2. 17 даёт остаток 8, поэтому число не делится на 9.

Ответ

Нет