Урок 3. Отношения, пропорции и проценты

01. Отношение: что с чем сравниваем

Отношение двух чисел - результат деления первого на второе. Запись $a:b$ означает $\frac{a}{b}$, где $b\ne0$. Порядок важен: отношение 6 к 3 равно 2, а отношение 3 к 6 равно $\frac{1}{2}$. Перед сравнением одноимённых величин приведите их к одинаковым единицам: отношение 2 м к 50 см равно $200:50=4$.

Если красные и синие детали взяты в отношении $2:3$, на каждые две красные приходятся три синие. Всего в таком наборе пять равных частей. Это не означает, что красных деталей обязательно две: их может быть 4, 20 или другое число, согласованное с отношением.

Как разделить число в заданном отношении

Для деления 60 в отношении $2:3$ сначала находим число частей: $2+3=5$. Одна часть равна $60:5=12$. Получаем $12\cdot2=24$ и $12\cdot3=36$. Проверяем и сумму $24+36=60$, и отношение $24:36=2:3$.

Важно. Если отношение описывает две группы, доля первой во всём количестве равна $\frac{2}{2+3}$, а не $\frac{2}{3}$. Вторая дробь сравнивает первую группу только со второй.

02. Пропорции и зависимости

Пропорция - равенство двух отношений: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ при ненулевых знаменателях. Умножив обе части на $bd$, получаем $ad=bc$. Это свойство помогает найти неизвестное число, но сначала нужно правильно составить отношения из условия.

Прямая пропорциональность

При прямой пропорциональности увеличение одной величины в несколько раз увеличивает другую во столько же раз. Формула зависимости - $y=kx$. Например, при постоянной цене одного килограмма стоимость покупки прямо пропорциональна массе. Если 3 кг стоят 240 рублей, то 1 кг стоит 80 рублей, а 5 кг - 400 рублей.

Постоянным остаётся отношение $\frac{y}{x}=k$. Способ «сначала найти на одну единицу» часто понятнее механического составления пропорции.

Обратная пропорциональность

При обратной пропорциональности увеличение одной величины в несколько раз уменьшает другую во столько же раз: $y=\frac{k}{x}$, $x\ne0$. Постоянным остаётся произведение $xy=k$.

Например, для одного и того же объёма работы 4 одинаково производительных работника могут потребовать 6 дней, а 8 работников - 3 дня: $4\cdot6=8\cdot3$. Такая модель применима, когда объём работы и производительность каждого работника не меняются. Сначала определите зависимость, затем выбирайте вычисление.

03. Три основные задачи на проценты

Процент - одна сотая целого: $1\%=0{,}01$. Перед вычислением назовите величину, которую принимаете за 100%. Слово «процент» само по себе не определяет базу сравнения.

При поиске целого доля должна быть ненулевой; при поиске процента ненулевой должна быть база $A$. В обычных задачах на цену, массу и количество эти величины положительны.

04. Повышение, скидка и последовательные изменения

После повышения на $p\%$ остаётся $100+p$ процентов исходной величины. Поэтому её умножают на $1+\frac{p}{100}$. При снижении на $p\%$ используют коэффициент $1-\frac{p}{100}$. Например, скидка 15% превращает цену 2000 рублей в $2000\cdot0{,}85=1700$ рублей.

Чтобы восстановить прежнюю цену, новую цену делят на коэффициент изменения: $1700:0{,}85=2000$. Вычитать 15% из новой цены нельзя: это уже другая база.

Последовательные коэффициенты перемножают. Повышение на 10% и последующая скидка 10% дают $1{,}1\cdot0{,}9=0{,}99$: итог на 1% ниже исходного. Проценты не уничтожаются, потому что второе изменение относится к новой величине.

Проценты и процентные пункты

Если доля выросла с 20% до 25%, прибавка составляет 5 процентных пунктов. Относительный рост самой доли равен $\frac{25-20}{20}\cdot100\%=25\%$. Эти ответы описывают разные сравнения, поэтому читайте вопрос полностью.

05. Проценты в задачах на растворы

Массовая доля вещества равна отношению массы вещества к массе всего раствора. В 200 г раствора с концентрацией 15% содержится $200\cdot0{,}15=30$ г вещества. Остальные 170 г приходятся на растворитель.

При добавлении чистой воды масса вещества сохраняется, а общая масса растёт. При испарении только воды масса вещества также сохраняется, а общая масса уменьшается. Например, после добавления 100 г воды концентрация станет $\frac{30}{300}\cdot100\%=10\%$. Для смешения растворов сначала складывают массы вещества и массы растворов; простое среднее процентов годится лишь при равных массах смешиваемых растворов.

Самопроверка. Назовите базу каждого процента, подпишите единицы, оцените направление изменения и подставьте найденную величину обратно в условие.

06. Примеры с пошаговыми решениями

07. Основные формулы

$$\text{часть} = \text{целое} \cdot \frac{p}{100}$$

$$\text{целое} = \frac{\text{часть}}{p/100}$$

$$p = \frac{\text{изменение}}{\text{начальное значение}} \cdot 100\%$$

08. Вопросы по теме

Почему скидка и повышение на один процент не отменяют друг друга?

Каждое изменение считается от текущей величины. Например, коэффициенты повышения на 20% и снижения на 20% дают 1,2 · 0,8 = 0,96: остаётся 96% исходной величины.

Как выбрать между прямой и обратной пропорцией?

Уточните, что остаётся постоянным. При постоянной цене стоимость растёт вместе с количеством. При постоянной работе время уменьшается с ростом числа одинаково производительных работников.

09. Практика по теме

Проверьте понимание правил на отдельной странице: 40 заданий с ответами и решениями. Начните с первого уровня; к следующему переходите, когда можете объяснить каждый шаг.