Урок 28. Тестовые задания (40 вопросов)

1. За два года коэффициент равен $1,1^{2} = 1,21$ .

Ответ

1,21

1. $1,2D = 960$ .

2. $D = 800$ тыс. рублей.

Ответ

800 тыс. рублей

1. После начисления: $1000 \cdot 1,12 = 1120$ .

2. После платежа: $1120 - 700 = 420$ тыс. рублей.

Ответ

420 тыс. рублей

1. Всего нужно погасить $1500 - 600 = 900$ тыс. рублей.

2. Ежегодное уменьшение равно $\frac{900}{3} = 300$ тыс. рублей.

Ответ

300 тыс. рублей

1. $\Delta = \frac{600}{4} = 150$ тыс. рублей.

Ответ

150 тыс. рублей

1. После начисления: $600 \cdot 1,25 = 750$ .

2. После платежа: $750 - 500 = 250$ тыс. рублей.

Ответ

250 тыс. рублей

1. В первом году начислено $0,08 \cdot 1400 = 112$ тыс. рублей.

2. Во втором - $0,1 \cdot 1000 = 100$ тыс. рублей.

3. Всего $112 + 100 = 212$ тыс. рублей.

Ответ

212 тыс. рублей

1. Платёж равен $900 - 650 = 250$ тыс. рублей.

Ответ

250 тыс. рублей

1. После начисления: $960 \cdot 1,25 = 1200$ .

2. После платежа: $1200 - 1000 = 200$ тыс. рублей.

Ответ

200 тыс. рублей

1. После процентов: $500 \cdot 1,12 = 560$ тыс. рублей.

2. После пополнения: $560 + 40 = 600$ тыс. рублей.

Ответ

600 тыс. рублей

1. $1,1S = 1210$ .

2. $S = 1100$ тыс. рублей.

Ответ

1 100 тыс. рублей

1. На первом этапе $\Delta_{1} = \frac{720 - 360}{2} = 180$ тыс. рублей.

2. На втором этапе $\Delta_{2} = \frac{360}{3} = 120$ тыс. рублей.

Ответ

180 тыс. и 120 тыс. рублей

1. В первом блоке ежегодное уменьшение: $\frac{1200 - 600}{3} = 200$ тыс. рублей.

2. Во втором блоке: $\frac{600}{3} = 200$ тыс. рублей.

3. Остатки перед начислением процентов: $1200,\ 1000,\ 800,\ 600,\ 400,\ 200$ .

4. Их сумма равна $4200$ тыс. рублей, проценты - $0,1 \cdot 4200 = 420$ .

5. Общая сумма выплат: $1200 + 420 = 1620$ тыс. рублей.

Ответ

1 620 тыс. рублей

1. За три года возвращается $1500 - 600 = 900$ тыс. рублей основного долга.

2. Перед начислениями остатки равны 1 500, 1 200 и 900 тыс. рублей.

3. Проценты за три года: $0,12 \cdot (1500 + 1200 + 900) = 432$ тыс. рублей.

4. Сумма платежей равна $900 + 432 = 1332$ тыс. рублей.

Ответ

1 332 тыс. рублей

1. На первом этапе ежегодно возвращают $\frac{1000 - 400}{2} = 300$ тыс. рублей.

2. На втором этапе ежегодно возвращают ровно $\frac{400}{3}$ тыс. рублей.

3. Остатки перед начислениями: $1000;700;400;\frac{800}{3};\frac{400}{3}$ .

4. Их сумма: $1000 + 700 + 400 + \frac{800}{3} + \frac{400}{3} = 2500$ .

5. Проценты составят $0,15 \cdot 2500 = 375$ тыс. рублей. Общая выплата: $1000 + 375 = 1375$ тыс. рублей.

Ответ

1 375 тыс. рублей

1. В первые два года части основного долга равны 400 тыс. рублей, затем остаток 1 000 тыс. рублей погашается по 250 тыс. рублей.

2. Первый платёж равен $400 + 0,1 \cdot 1800 = 580$ тыс. рублей.

3. Далее остаток и процентная часть уменьшаются; после перехода уменьшается и часть основного долга.

4. Поэтому наибольшим является первый платёж.

Ответ

580 тыс. рублей

1. Перед начислением процентов в 3-й год остаток равен $600$ тыс. рублей.

2. Проценты составят $0,2 \cdot 600 = 120$ тыс. рублей.

3. Часть основного долга во всех платежах одинакова: $\frac{1000}{5} = 200$ .

4. Платёж: $200 + 120 = 320$ тыс. рублей.

Ответ

320 тыс. рублей

1. При равномерном уменьшении долга сумма остатков перед начислениями равна $1000 \cdot \frac{4 + 1}{2} = 2500$ тыс. рублей.

2. Переплата по процентам равна $1300 - 1000 = 300$ тыс. рублей.

3. Если ставка равна p%, то $\frac{p}{100} \cdot 2500 = 300$ .

4. Отсюда $p = 12$ .

Ответ

12%

1. Перед начислениями процентов остатки равны 900, 600 и 350 тыс. рублей.

2. Сумма процентов равна $0,1 \cdot (900 + 600 + 350) = 185$ тыс. рублей.

3. За три платежа возвращён весь основной долг - 900 тыс. рублей.

4. Общая выплата равна $900 + 185 = 1085$ тыс. рублей.

Ответ

1 085 тыс. рублей

1. Критические точки: $2,\ 4,\ 7$ ; точка $4$ не входит в ОДЗ.

2. Расставляем знаки множителей на четырёх промежутках. Кратности всех нулей нечётные, поэтому знак меняется в каждой критической точке.

3. Выбираем нужные промежутки и получаем $\lbrack 2;4) \cup \lbrack 7; + \infty)$ .

Ответ

$$\lbrack 2;4) \cup \lbrack 7; + \infty)$$

1. На втором этапе часть основного долга равна $\frac{500}{2} = 250$ тыс. рублей.

2. Перед четвёртым начислением остаток равен 500 тыс. рублей.

3. Проценты равны $0,2 \cdot 500 = 100$ тыс. рублей.

4. Платёж равен $250 + 100 = 350$ тыс. рублей.

Ответ

350 тыс. рублей

1. На первом этапе часть долга равна $\frac{900 - 300}{2} = 300$ тыс. рублей.

2. Первый платёж: $300 + 0,25 \cdot 900 = 525$ тыс. рублей.

3. На втором этапе часть долга равна $\frac{300}{2} = 150$ тыс. рублей; последний платёж $150 + 0,25 \cdot 150 = 187,5$ тыс. рублей.

4. Разность равна $525 - 187,5 = 337,5$ тыс. рублей.

Ответ

337,5 тыс. рублей

1. Пусть промежуточный остаток равен $H$ тыс. рублей.

2. Сумма остатков первого блока: $\frac{3}{2}\left( 2 \cdot 1200 - (3 - 1)\frac{1200 - H}{3} \right)$ .

3. Сумма остатков второго блока: $\frac{3}{2}\left( H + \frac{H}{3} \right)$ .

4. Из равенства $1200 + 0,1 \cdot \Sigma D = 1620$ получаем $H = 600$ .

5. Проверка подстановкой восстанавливает указанную общую сумму выплат.

Ответ

600 тыс. рублей

1. Пусть промежуточный остаток равен $H$ тыс. рублей.

2. Сумма остатков первого блока: $\frac{3}{2}\left( 2 \cdot 1500 - (3 - 1)\frac{1500 - H}{3} \right)$ .

3. Сумма остатков второго блока: $\frac{4}{2}\left( H + \frac{H}{4} \right)$ .

4. Из равенства $1500 + 0,12 \cdot \Sigma D = 2112$ получаем $H = 600$ .

5. Проверка подстановкой восстанавливает указанную общую сумму выплат.

Ответ

600 тыс. рублей

1. Ежегодное уменьшение основного долга: $\frac{1200}{4} = 300$ тыс. рублей.

2. Остатки перед начислением: $1200,\ 900,\ 600,\ 300$ .

3. Проценты по годам: $120,\ 90,\ 90,\ 45$ тыс. рублей.

4. Сумма процентов $345$ ; общая выплата $1200 + 345 = 1545$ тыс. рублей.

Ответ

1 545 тыс. рублей

1. Ежегодная часть долга равна $\frac{1000}{5} = 200$ тыс. рублей.

2. Перед двумя последними начислениями остатки равны 400 и 200 тыс. рублей.

3. Платежи равны $200 + 0,16 \cdot 400 = 264$ и $200 + 0,18 \cdot 200 = 236$ тыс. рублей.

4. Их сумма равна $264 + 236 = 500$ тыс. рублей.

Ответ

500 тыс. рублей

1. Ежегодное уменьшение основного долга: $\frac{900}{3} = 300$ тыс. рублей.

2. Остатки перед начислением: $900,\ 600,\ 300$ .

3. Проценты по годам: $180,\ 90,\ 30$ тыс. рублей.

4. Сумма процентов $300$ ; общая выплата $900 + 300 = 1200$ тыс. рублей.

Ответ

1 200 тыс. рублей

1. Ежегодная часть долга равна $\frac{1400}{7} = 200$ тыс. рублей.

2. Процентные части по годам равны 70, 60, 100, 80, 90, 60 и 40 тыс. рублей.

3. Платежи равны 270, 260, 300, 280, 290, 260 и 240 тыс. рублей.

4. Максимум достигается в третьем году.

Ответ

3-й год, 300 тыс. рублей

1. Ежегодное уменьшение основного долга: $\frac{800}{4} = 200$ тыс. рублей.

2. Остатки перед начислением: $800,\ 600,\ 400,\ 200$ .

3. Проценты по годам: $200,\ 120,\ 60,\ 20$ тыс. рублей.

4. Сумма процентов $400$ ; общая выплата $800 + 400 = 1200$ тыс. рублей.

Ответ

1 200 тыс. рублей

1. Ежегодная часть долга равна $\frac{1500}{5} = 300$ тыс. рублей.

2. Перед третьим и пятым начислениями остатки равны 900 и 300 тыс. рублей.

3. Процентные части равны $0,12 \cdot 900 = 108$ и $0,16 \cdot 300 = 48$ тыс. рублей.

4. Основные части одинаковы, поэтому разность платежей равна $108 - 48 = 60$ тыс. рублей.

Ответ

60 тыс. рублей

1. Пусть сумма кредита равна $S$ , а $q = 1,2$ .

2. После 2 одинаковых платежей выполняется $Sq^{2} = A(1 + q)$ .

3. Подставим $A = 360$ и сумму геометрической прогрессии.

4. Получаем $S = 550$ тыс. рублей.

Ответ

550 тыс. рублей

1. После начисления долг равен $360 \cdot 1,25 = 450$ тыс. рублей.

2. После платежа остаётся $450 - 250 = 200$ тыс. рублей.

Ответ

200 тыс. рублей

1. Пусть сумма кредита равна $S$ , а $q = 1,1$ .

2. После 2 одинаковых платежей выполняется $Sq^{2} = A(1 + q)$ .

3. Подставим $A = 121$ и сумму геометрической прогрессии.

4. Получаем $S = 210$ тыс. рублей.

Ответ

210 тыс. рублей

1. Общая сумма трёх платежей равна $3 \cdot 125 = 375$ тыс. рублей.

2. Переплата равна $375 - 244 = 131$ тыс. рублей.

Ответ

131 тыс. рублей

1. По схеме А общая сумма равна $715$ тыс. рублей.

2. По схеме Б: $360 \cdot 2 = 720$ тыс. рублей.

3. Разница: $|715 - 720| = 5$ тыс. рублей.

4. Меньшая сумма соответствует схеме «равномерное уменьшение долга».

Ответ

равномерное уменьшение долга; 5 тыс. рублей

1. По схеме А общая сумма равна $495$ тыс. рублей.

2. По схеме Б: $250 \cdot 2 = 500$ тыс. рублей.

3. Разница: $|495 - 500| = 5$ тыс. рублей.

4. Меньшая сумма соответствует схеме «равномерное уменьшение долга».

Ответ

равномерное уменьшение долга; 5 тыс. рублей

1. По схеме А общая сумма равна $241,5$ тыс. рублей.

2. По схеме Б: $121 \cdot 2 = 242$ тыс. рублей.

3. Разница: $|241,5 - 242| = 0,5$ тыс. рублей.

4. Меньшая сумма соответствует схеме «равномерное уменьшение долга».

Ответ

равномерное уменьшение долга; 0,5 тыс. рублей

1. По схеме А общая сумма равна $366$ тыс. рублей.

2. По схеме Б: $125 \cdot 3 = 375$ тыс. рублей.

3. Разница: $|366 - 375| = 9$ тыс. рублей.

4. Меньшая сумма соответствует схеме «равномерное уменьшение долга».

Ответ

равномерное уменьшение долга; 9 тыс. рублей

1. Если продать в конце года $t$ , итог пропорционален $F(t) = t^{2} \cdot 1,25^{25 - t}$ .

2. Сравним соседние значения: $\frac{F(t + 1)}{F(t)} = \frac{(t + 1)^{2}}{1,25t^{2}}$ .

3. Последовательность растёт, пока $(t + 1)^{2} > 1,25t^{2}$ , и убывает после смены знака.

4. Проверка соседних лет даёт максимум при $t = 9$ .

Ответ

9

Уточнение сравнения: $F(9)/F(8)=81/80>1$ , а $F(10)/F(9)=80/81<1$ . Отношение $(1+1/t)^2/1{,}25$ убывает при положительном целом $t$ , поэтому смена роста на убывание происходит только один раз.

1. Если продать в конце года $t$ , итог пропорционален $F(t) = t^{2} \cdot 1,3^{20 - t}$ .

2. Сравним соседние значения: $\frac{F(t + 1)}{F(t)} = \frac{(t + 1)^{2}}{1,3t^{2}}$ .

3. Последовательность растёт, пока $(t + 1)^{2} > 1,3t^{2}$ , и убывает после смены знака.

4. Проверка соседних лет даёт максимум при $t = 8$ .

Ответ

8

Уточнение сравнения: $F(8)/F(7)=640/637>1$ , а $F(9)/F(8)=405/416<1$ . Отношение соседних членов убывает с ростом $t$ , поэтому максимум единственный.