Урок 27. Тестовые задания (40 вопросов)

1. Проценты равны $600 \cdot \frac{10}{100} = 60$ тыс. рублей.

Ответ

60 тыс. рублей

1. Коэффициент увеличения: $1 + \frac{15}{100} = 1,15$ .

2. Новый долг: $800 \cdot 1,15 = 920$ тыс. рублей.

Ответ

920 тыс. рублей

1. После начисления процентов долг равен $500 \cdot 1,2 = 600$ тыс. рублей.

2. После платежа остаётся $600 - 260 = 340$ тыс. рублей.

Ответ

340 тыс. рублей

1. Пусть долг равен D. Тогда $1,12D = 1008$ .

2. $D = 900$ тыс. рублей.

Ответ

900 тыс. рублей

1. $1,05D = 1260$ .

2. $D = 1200$ тыс. рублей.

Ответ

1 200 тыс. рублей

1. После начисления: $700 \cdot 1,1 = 770$ .

2. После платежа: $770 - 300 = 470$ тыс. рублей.

Ответ

470 тыс. рублей

1. $q = 1 + \frac{8}{100} = 1,08$ .

Ответ

1,08

1. Прирост равен $1250 - 1000 = 250$ тыс. рублей.

2. $\frac{250}{1000} \cdot 100\% = 25\%$ .

Ответ

25%

1. После начисления: $480 \cdot 1,15 = 552$ .

2. После платежа: $552 - 200 = 352$ тыс. рублей.

Ответ

352 тыс. рублей

1. После начисления долг равен $960 \cdot 1,12 = 1075,2$ тыс. рублей.

2. Платёж равен $1075,2 - 800 = 275,2$ тыс. рублей.

Ответ

275,2 тыс. рублей

1. $1,2D = 900$ .

2. $D = 750$ тыс. рублей.

Ответ

750 тыс. рублей

1. После начисления: $640 \cdot 1,25 = 800$ .

2. После платежа: $800 - 500 = 300$ тыс. рублей.

Ответ

300 тыс. рублей

1. Ежегодное уменьшение основного долга: $\frac{1200}{4} = 300$ тыс. рублей.

2. Проценты начисляются на остатки $1200,\ 900,\ldots,\ 300$ ; это арифметическая прогрессия.

3. Сумма остатков: $\frac{4(1200 + 300)}{2} = 3000$ тыс. рублей.

4. Все проценты: $0,1 \cdot 3000 = 300$ тыс. рублей.

5. Общая сумма выплат: $1200 + 300 = 1500$ тыс. рублей.

Ответ

1 500 тыс. рублей

1. Ежегодное уменьшение основного долга: $\frac{900}{5} = 180$ тыс. рублей.

2. Проценты начисляются на остатки $900,\ 720,\ldots,\ 180$ ; это арифметическая прогрессия.

3. Сумма остатков: $\frac{5(900 + 180)}{2} = 2700$ тыс. рублей.

4. Все проценты: $0,2 \cdot 2700 = 540$ тыс. рублей.

5. Общая сумма выплат: $900 + 540 = 1440$ тыс. рублей.

Ответ

1 440 тыс. рублей

1. Основной долг ежегодно уменьшается на $\frac{600}{3} = 200$ тыс. рублей.

2. Проценты в первом и последнем платежах начисляются соответственно на 600 и 200 тыс. рублей.

3. Разность платежей равна $0,25 \cdot (600 - 200) = 100$ тыс. рублей.

Ответ

100 тыс. рублей

1. Ежегодное уменьшение основного долга: $\frac{1500}{5} = 300$ тыс. рублей.

2. Проценты начисляются на остатки $1500,\ 1200,\ldots,\ 300$ ; это арифметическая прогрессия.

3. Сумма остатков: $\frac{5(1500 + 300)}{2} = 4500$ тыс. рублей.

4. Все проценты: $0,12 \cdot 4500 = 540$ тыс. рублей.

5. Общая сумма выплат: $1500 + 540 = 2040$ тыс. рублей.

Ответ

2 040 тыс. рублей

1. Ежегодно возвращается $\frac{1000}{4} = 250$ тыс. рублей основного долга.

2. Остатки перед начислениями равны 1 000, 750, 500 и 250 тыс. рублей.

3. Сумма процентов: $0,08 \cdot 1000 + 0,10 \cdot 750 + 0,12 \cdot 500 + 0,14 \cdot 250 = 250$ тыс. рублей.

4. Общая сумма выплат: $1000 + 250 = 1250$ тыс. рублей.

Ответ

1 250 тыс. рублей

1. Нули числителя: $x = 1,\ x = 5$ ; точка разрыва: $x = 3$ .

2. На числовой прямой отмечаем точки в порядке возрастания и определяем знаки произведения.

3. Неотрицательные промежутки: $\lbrack 1;3) \cup \lbrack 5; + \infty)$ . Точка $x = 3$ исключается.

Ответ

$$\lbrack 1;3) \cup \lbrack 5; + \infty)$$

1. Положим $t = 2^{x} > 0$ . Тогда $t^{2} - 5t + 4 = 0$ .

2. Корни: $t = 1$ и $t = 4$ .

3. Отсюда $x = 0$ или $x = 2$ .

Ответ

0; 2

1. Обозначим $y = x + 6\pi$ . Разложим: $\left( 2\sin y - 1 \right)\left( \sin y - 1 \right) = 0$ .

2. Получаем $y = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ , $y = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$ или $y = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ , $n \in \mathbb{Z}$ .

3. Возвращаемся к x и выполняем отбор на данном отрезке.

4. Подходящие корни: $- \frac{35\pi}{6},\ - \frac{11\pi}{2},\ - \frac{31\pi}{6}$ .

5. Общее решение пункта а: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n;\ \ \ x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n;\ \ \ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ , где $n \in Z$ .

Ответ

а) $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n;\ \ \ x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n;\ \ \ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ ; $n \in Z$ .

б)

$$- \frac{35\pi}{6}; - \frac{11\pi}{2}; - \frac{31\pi}{6}$$

1. Ежегодное уменьшение основного долга: $\frac{800}{4} = 200$ тыс. рублей.

2. Проценты начисляются на остатки $800,\ 600,\ldots,\ 200$ ; это арифметическая прогрессия.

3. Сумма остатков: $\frac{4(800 + 200)}{2} = 2000$ тыс. рублей.

4. Все проценты: $0,15 \cdot 2000 = 300$ тыс. рублей.

5. Общая сумма выплат: $800 + 300 = 1100$ тыс. рублей.

Ответ

1 100 тыс. рублей

1. Ежегодная часть основного долга равна $\frac{1000}{10} = 100$ тыс. рублей.

2. Наибольший платёж - первый, потому что проценты начисляются на наибольший остаток.

3. Первый платёж равен $100 + 0,1 \cdot 1000 = 200$ тыс. рублей.

Ответ

200 тыс. рублей

1. Ежегодное уменьшение основного долга: $\frac{720}{6} = 120$ тыс. рублей.

2. Проценты начисляются на остатки $720,\ 600,\ldots,\ 120$ ; это арифметическая прогрессия.

3. Сумма остатков: $\frac{6(720 + 120)}{2} = 2520$ тыс. рублей.

4. Все проценты: $0,2 \cdot 2520 = 504$ тыс. рублей.

5. Общая сумма выплат: $720 + 504 = 1224$ тыс. рублей.

Ответ

1 224 тыс. рублей

1. Ежегодное уменьшение основного долга: $\frac{1400}{7} = 200$ тыс. рублей.

2. Перед первыми тремя начислениями остатки равны 1 400, 1 200 и 1 000 тыс. рублей.

3. Сумма процентов за три года: $0,1 \cdot (1400 + 1200 + 1000) = 360$ тыс. рублей.

4. В трёх платежах возвращено $3 \cdot 200 = 600$ тыс. рублей основного долга.

5. Искомая сумма равна $360 + 600 = 960$ тыс. рублей.

Ответ

960 тыс. рублей

1. При равномерном уменьшении долга сумма остатков перед начислением процентов равна $3000$ тыс. рублей.

2. Сумма процентов: $1500 - 1200 = 300$ тыс. рублей.

3. Пусть ставка равна $p$ %. Тогда $\frac{p}{100} \cdot 3000 = 300$ .

4. Отсюда $p = 10$ .

Ответ

10%

1. При равномерном уменьшении долга сумма остатков перед начислением процентов равна $2700$ тыс. рублей.

2. Сумма процентов: $1440 - 900 = 540$ тыс. рублей.

3. Пусть ставка равна $p$ %. Тогда $\frac{p}{100} \cdot 2700 = 540$ .

4. Отсюда $p = 20$ .

Ответ

20%

1. Постоянная часть основного долга равна $\frac{600}{3} = 200$ тыс. рублей.

2. Процентная часть первого платежа равна $350 - 200 = 150$ тыс. рублей.

3. Если ставка равна $p$ %, то $\frac{p}{100} \cdot 600 = 150$ .

4. Отсюда $p = 25$ .

Ответ

25%

1. Пусть первоначальный кредит равен $S$ тыс. рублей. Перед последним начислением остаётся $\frac{S}{5}$ .

2. Последний платёж состоит из этой части долга и процентов: $\frac{S}{5} + 0,12 \cdot \frac{S}{5} = 0,224S$ .

3. Получаем $0,224S = 336$ , поэтому $S = 1500$ .

4. Подстановка: 300 тыс. рублей долга и 36 тыс. рублей процентов дают платёж 336 тыс. рублей.

Ответ

1 500 тыс. рублей

1. Пусть сумма кредита равна $S$ тыс. рублей.

2. Сумма остатков перед начислением процентов равна $S \cdot \frac{4 + 1}{2}$ .

3. Поэтому общая сумма выплат: $S + 0,1S \cdot \frac{4 + 1}{2} = 1,25S$ .

4. Уравнение $1,25S = 1500$ даёт $S = 1200$ .

Ответ

1 200 тыс. рублей

1. Пусть сумма кредита равна $S$ тыс. рублей.

2. Сумма остатков перед начислением процентов равна $S \cdot \frac{5 + 1}{2}$ .

3. Поэтому общая сумма выплат: $S + 0,2S \cdot \frac{5 + 1}{2} = 1,6S$ .

4. Уравнение $1,6S = 1440$ даёт $S = 900$ .

Ответ

900 тыс. рублей

1. Пусть первоначальная сумма равна $S$ . Сумма остатков перед начислениями равна $S \cdot \frac{4 + 1}{2} = 2,5S$ .

2. Все проценты составят $0,15 \cdot 2,5S = 0,375S$ .

3. Общая выплата равна $S + 0,375S = 1,375S$ .

4. Из уравнения $1,375S = 1100$ получаем $S = 800$ .

Ответ

800 тыс. рублей

1. Пусть сумма кредита равна $S$ тыс. рублей.

2. Сумма остатков перед начислением процентов равна $S \cdot \frac{7 + 1}{2}$ .

3. Поэтому общая сумма выплат: $S + 0,1S \cdot \frac{7 + 1}{2} = 1,4S$ .

4. Уравнение $1,4S = 1960$ даёт $S = 1400$ .

Ответ

1 400 тыс. рублей

1. Перед начислением процентов в 2-й год остаток равен $900$ тыс. рублей.

2. Проценты составят $0,1 \cdot 900 = 90$ тыс. рублей.

3. Часть основного долга во всех платежах одинакова: $\frac{1200}{4} = 300$ .

4. Платёж: $300 + 90 = 390$ тыс. рублей.

Ответ

390 тыс. рублей

1. Ежегодное уменьшение основного долга равно $\frac{900}{5} = 180$ тыс. рублей.

2. Перед первым начислением долг равен 900 тыс. рублей, перед четвёртым - 360 тыс. рублей.

3. Части основного долга в платежах одинаковы, поэтому различаются только проценты.

4. Разность равна $0,2 \cdot (900 - 360) = 108$ тыс. рублей.

Ответ

108 тыс. рублей

1. Перед начислением процентов в 3-й год остаток равен $400$ тыс. рублей.

2. Проценты составят $0,15 \cdot 400 = 60$ тыс. рублей.

3. Часть основного долга во всех платежах одинакова: $\frac{800}{4} = 200$ .

4. Платёж: $200 + 60 = 260$ тыс. рублей.

Ответ

260 тыс. рублей

1. Ежегодная часть основного долга равна $\frac{720}{6} = 120$ тыс. рублей.

2. Перед двумя последними начислениями остатки равны 240 и 120 тыс. рублей.

3. Предпоследний платёж: $120 + 0,2 \cdot 240 = 168$ тыс. рублей.

4. Последний платёж: $120 + 0,2 \cdot 120 = 144$ тыс. рублей.

5. Сумма равна $168 + 144 = 312$ тыс. рублей.

Ответ

312 тыс. рублей

1. Обозначим платёж через $A$ , а коэффициент начисления через $q = 1,2$ .

2. После первого платежа долг равен $1,2 \cdot 550 - A$ .

3. После 2-го платежа: $550q^{2} - A(1 + q) = 0$ .

4. Следовательно, $A = \frac{550q^{2}(q - 1)}{q^{2} - 1} = 360$ тыс. рублей.

Ответ

360 тыс. рублей

1. Обозначим платёж через $A$ , а коэффициент начисления через $q = 1,25$ .

2. После первого платежа долг равен $1,25 \cdot 360 - A$ .

3. После 2-го платежа: $360q^{2} - A(1 + q) = 0$ .

4. Следовательно, $A = \frac{360q^{2}(q - 1)}{q^{2} - 1} = 250$ тыс. рублей.

Ответ

250 тыс. рублей

1. Обозначим платёж через $A$ , а коэффициент начисления через $q = 1,1$ .

2. После первого платежа долг равен $1,1 \cdot 210 - A$ .

3. После 2-го платежа: $210q^{2} - A(1 + q) = 0$ .

4. Следовательно, $A = \frac{210q^{2}(q - 1)}{q^{2} - 1} = 121$ тыс. рублей.

Ответ

121 тыс. рублей

1. Обозначим платёж через $A$ , а коэффициент начисления через $q = 1,25$ .

2. После первого платежа долг равен $1,25 \cdot 244 - A$ .

3. После 3-го платежа: $244q^{3} - A\left( 1 + q + q^{2} \right) = 0$ .

4. Следовательно, $A = \frac{244q^{3}(q - 1)}{q^{3} - 1} = 125$ тыс. рублей.

Ответ

125 тыс. рублей