Урок 25. Тестовые задания (40 вопросов)

10.10.2026 - Яна -

Математика
ЕГЭ
Профиль
Тесты

40 заданий: 36 по теме «Показательные и логарифмические неравенства» и 4 на повторение. Задания 1-20: начальный уровень, 21-35: средний, 36-40: повышенный уровень. Решения открываются отдельно под каждым заданием.

Содержание теста

01. Начальный уровень: задания 1-20

02. Средний уровень: задания 21-35

03. Повышенный уровень: задания 36-40

Теория PDF Задания PDF Ответы и решения PDF

01. Начальный уровень: задания 1-20

Задание 1

Решите $2^{x} > 8$ .

Ответ и решение к заданию 1

1. $8 = 2^{3}$ , основание $2 > 1$ .

2. $x > 3$ .

Ответ

$(3; + \infty)$

Задание 2

Решите $3^{x - 1} \leq 9$ .

Ответ и решение к заданию 2

1. $9 = 3^{2}$ , функция возрастает.

2. $x - 1 \leq 2$ .

3. $x \leq 3$ .

Ответ

$( - \infty;3\rbrack$

Задание 3

Решите $\left( \frac{1}{2} \right)^{x} > 4$ .

Ответ и решение к заданию 3

1. $4 = \left( \frac{1}{2} \right)^{- 2}$ .

2. Функция убывает, знак меняется.

3. $x < - 2$ .

Ответ

$( - \infty; - 2)$

Задание 4

Решите $\left( \frac{1}{3} \right)^{2x - 1} \leq 9$ .

Ответ и решение к заданию 4

1. $9 = \left( \frac{1}{3} \right)^{- 2}$ .

2. Функция убывает: $2x - 1 \geq - 2$ .

3. $x \geq - \frac{1}{2}$ .

Ответ

$\lbrack - \frac{1}{2}; + \infty)$

Задание 5

Решите $4^{x} \geq 2^{x + 2}$ .

Ответ и решение к заданию 5

1. $2^{2x} \geq 2^{x + 2}$ .

2. Функция возрастает: $2x \geq x + 2$ .

3. $x \geq 2$ .

Ответ

$\lbrack 2; + \infty)$

Задание 6

Решите $9^{x - 1} < 3^{x + 1}$ .

Ответ и решение к заданию 6

1. $3^{2x - 2} < 3^{x + 1}$ .

2. $2x - 2 < x + 1$ .

3. $x < 3$ .

Ответ

$( - \infty;3)$

Задание 7

Решите $5^{2x - 1} > 125$ .

Ответ и решение к заданию 7

1. $125 = 5^{3}$ .

2. $2x - 1 > 3$ .

3. $x > 2$ .

Ответ

$(2; + \infty)$

Задание 8

Решите $\left( \frac{1}{4} \right)^{x + 1} \geq 8$ .

Ответ и решение к заданию 8

1. $\left( \frac{1}{4} \right)^{x + 1} = \left( \frac{1}{2} \right)^{2x + 2}$ , $8 = \left( \frac{1}{2} \right)^{- 3}$ .

2. Функция убывает: $2x + 2 \leq - 3$ .

3. $x \leq - \frac{5}{2}$ .

Ответ

$( - \infty; - \frac{5}{2}\rbrack$

Задание 9

Решите $2^{x^{2} - 1} \leq 8$ .

Ответ и решение к заданию 9

1. $8 = 2^{3}$ .

2. $x^{2} - 1 \leq 3$ , то есть $x^{2} \leq 4$ .

3. $- 2 \leq x \leq 2$ .

Ответ

$\lbrack - 2;2\rbrack$

Задание 10

Решите $\left( \frac{1}{3} \right)^{x^{2}} > \left( \frac{1}{3} \right)^{4}$ .

Ответ и решение к заданию 10

1. Функция убывает, поэтому $x^{2} < 4$ .

2. Получаем $- 2 < x < 2$ .

Ответ

$( - 2;2)$

Задание 11

Решите $4^{x} - 5 \cdot 2^{x} + 4 \leq 0$ .

Ответ и решение к заданию 11

1. $t = 2^{x} > 0$ .

2. $(t - 1)(t - 4) \leq 0$ , значит $1 \leq t \leq 4$ .

3. $0 \leq x \leq 2$ .

Ответ

$\lbrack 0;2\rbrack$

Задание 12

Решите $9^{x} - 10 \cdot 3^{x} + 9 > 0$ .

Ответ и решение к заданию 12

1. $t = 3^{x} > 0$ .

2. $(t - 1)(t - 9) > 0$ , значит $0 < t < 1$ или $t > 9$ .

3. $x < 0$ или $x > 2$ .

Ответ

$( - \infty;0) \cup (2; + \infty)$

Задание 13

Решите $4^{x} - 3 \cdot 2^{x} + 2 \geq 0$ .

Ответ и решение к заданию 13

1. $t = 2^{x} > 0$ .

2. $(t - 1)(t - 2) \geq 0$ , значит $0 < t \leq 1$ или $t \geq 2$ .

3. $x \leq 0$ или $x \geq 1$ .

Ответ

$\left( - \infty;0\rbrack \cup \lbrack 1; + \infty \right)$

Задание 14

Решите $4^{x} + 2^{x} - 6 < 0$ .

Ответ и решение к заданию 14

1. $t = 2^{x} > 0$ .

2. $(t + 3)(t - 2) < 0$ , поэтому $0 < t < 2$ .

3. $x < 1$ .

Ответ

$( - \infty;1)$

Задание 15

Решите $9^{x} - 4 \cdot 3^{x} + 3 \leq 0$ .

Ответ и решение к заданию 15

1. $t = 3^{x} > 0$ .

2. $(t - 1)(t - 3) \leq 0$ .

3. $1 \leq t \leq 3$ , поэтому $0 \leq x \leq 1$ .

Ответ

$\lbrack 0;1\rbrack$

Задание 16

Решите $2^{x} + 2^{- x} \leq \frac{5}{2}$ .

Ответ и решение к заданию 16

1. $t = 2^{x} > 0$ , тогда $2^{- x} = \frac{1}{t}$ .

2. После умножения на $2t > 0$ : $2t^{2} - 5t + 2 \leq 0$ .

3. $\frac{1}{2} \leq t \leq 2$ , поэтому $- 1 \leq x \leq 1$ .

Ответ

$\lbrack - 1;1\rbrack$

Задание 17

Повторение: задание по ранее изученной теме.

Решите $\frac{x - 2}{x + 1} \geq 0$ .

Ответ и решение к заданию 17

1. Критические точки $- 1$ и $2$ .

2. Знаки $+ , - , +$ .

3. Ответ $( - \infty; - 1) \cup \lbrack 2; + \infty)$ .

Ответ

$( - \infty; - 1) \cup \lbrack 2; + \infty)$

Задание 18

Повторение: задание по ранее изученной теме.

Решите $2^{x} = 32$ .

Ответ и решение к заданию 18

1. $32 = 2^{5}$ .

2. $x = 5$ .

Ответ

$5$

Задание 19

Повторение: задание по ранее изученной теме.

Решите $\cos x = 0$ на $\lbrack 0;2\pi\rbrack$ .

Ответ и решение к заданию 19

1. $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ .

2. Корни: $\frac{\pi}{2}$ , $\frac{3\pi}{2}$ .

Ответ

$\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}$

Задание 20

Повторение: задание по ранее изученной теме.

Радиус конуса $3$ , высота $4$ . Найдите объём.

Ответ и решение к заданию 20

1. $V = \frac{1}{3}\pi r^{2}h$ .

2. $V = 12\pi$ .

Ответ

$12\pi$

02. Средний уровень: задания 21-35

Задание 21

Решите $\log_{2}x > 3$ .

Ответ и решение к заданию 21

1. ОДЗ: $x > 0$ .

2. Функция возрастает: $x > 8$ .

Ответ

$(8; + \infty)$

Задание 22

Решите $\log_{3}(x - 1) \leq 2$ .

Ответ и решение к заданию 22

1. ОДЗ: $x > 1$ .

2. $x - 1 \leq 9$ , то есть $x \leq 10$ .

3. Ответ $(1;10\rbrack$ .

Ответ

$(1;10\rbrack$

Задание 23

Решите $\log_{\frac{1}{2}}(x + 2) > - 1$ .

Ответ и решение к заданию 23

1. ОДЗ: $x > - 2$ .

2. Функция убывает: $x + 2 < 2$ .

3. Ответ $( - 2;0)$ .

Ответ

$( - 2;0)$

Задание 24

Решите $\log_{\frac{1}{3}}(2x - 1) \leq - 1$ .

Ответ и решение к заданию 24

1. ОДЗ: $x > \frac{1}{2}$ .

2. Функция убывает: $2x - 1 \geq 3$ .

3. $x \geq 2$ .

Ответ

$\lbrack 2; + \infty)$

Задание 25

Решите $\log_{2}(x - 3) \geq \log_{2}5$ .

Ответ и решение к заданию 25

1. ОДЗ: $x > 3$ .

2. Функция возрастает: $x - 3 \geq 5$ .

3. $x \geq 8$ .

Ответ

$\lbrack 8; + \infty)$

Задание 26

Решите $\log_{\frac{1}{2}}(x + 1) < \log_{\frac{1}{2}}4$ .

Ответ и решение к заданию 26

1. ОДЗ: $x > - 1$ .

2. Функция убывает, знак меняется: $x + 1 > 4$ .

3. $x > 3$ .

Ответ

$(3; + \infty)$

Задание 27

Решите $\log_{3}(2x + 1) > \log_{3}(x + 4)$ .

Ответ и решение к заданию 27

1. ОДЗ: $x > - \frac{1}{2}$ .

2. Функция возрастает: $2x + 1 > x + 4$ .

3. $x > 3$ .

Ответ

$(3; + \infty)$

Задание 28

Решите $\log_{\frac{1}{3}}(x + 5) \geq \log_{\frac{1}{3}}(2x + 1)$ .

Ответ и решение к заданию 28

1. ОДЗ: $x > - \frac{1}{2}$ .

2. Функция убывает: $x + 5 \leq 2x + 1$ .

3. $x \geq 4$ .

Ответ

$\lbrack 4; + \infty)$

Задание 29

Решите $\log_{2}(x - 1) + \log_{2}(x + 1) > 3$ .

Ответ и решение к заданию 29

1. ОДЗ: $x > 1$ .

2. $x^{2} - 1 > 8$ , то есть $x^{2} > 9$ .

3. С ОДЗ остаётся $x > 3$ .

Ответ

$(3; + \infty)$

Задание 30

Решите $\log_{3}(x - 1) - \log_{3}(x - 4) \geq 1$ .

Ответ и решение к заданию 30

1. ОДЗ: $x > 4$ .

2. $\frac{x - 1}{x - 4} \geq 3$ .

3. На ОДЗ знаменатель положителен: $x \leq \frac{11}{2}$ ; ответ $(4;\frac{11}{2}\rbrack$ .

Ответ

$(4;\frac{11}{2}\rbrack$

Задание 31

Решите $\log_{2}\left( x^{2} - 1 \right) \leq 3$ .

Ответ и решение к заданию 31

1. ОДЗ: $x < - 1$ или $x > 1$ .

2. $x^{2} - 1 \leq 8$ , значит $x^{2} \leq 9$ .

3. Пересечение: $\left\lbrack - 3; - 1) \cup (1;3 \right\rbrack$ .

Ответ

$\left\lbrack - 3; - 1) \cup (1;3 \right\rbrack$

Задание 32

Решите $\log_{\frac{1}{2}}\left( x^{2} - 4 \right) > - 2$ .

Ответ и решение к заданию 32

1. ОДЗ: $x^{2} > 4$ .

2. Функция убывает: $x^{2} - 4 < 4$ , то есть $x^{2} < 8$ .

3. Получаем $\left( - 2\sqrt{2}; - 2 \right) \cup \left( 2;2\sqrt{2} \right)$ .

Ответ

$\left( - 2\sqrt{2}; - 2 \right) \cup \left( 2;2\sqrt{2} \right)$

Задание 33

Решите $\log_{2}\frac{x - 1}{x - 3} > 0$ .

Ответ и решение к заданию 33

1. ОДЗ: $\frac{x - 1}{x - 3} > 0$ .

2. Функция возрастает: $\frac{x - 1}{x - 3} > 1$ .

3. После переноса $\frac{2}{x - 3} > 0$ , поэтому $x > 3$ .

Ответ

$(3; + \infty)$

Задание 34

Решите $\log_{\frac{1}{2}}\frac{x + 2}{x - 1} \geq 0$ .

Ответ и решение к заданию 34

1. ОДЗ: $\frac{x + 2}{x - 1} > 0$ .

2. Функция убывает: $\frac{x + 2}{x - 1} \leq 1$ .

3. Вместе условия выполняются при $x < - 2$ .

Ответ

$( - \infty; - 2)$

Задание 35

Решите $2^{x + 1} > 3 \cdot 2^{x}$ .

Ответ и решение к заданию 35

1. $2^{x + 1} = 2 \cdot 2^{x}$ .

2. Так как $2^{x} > 0$ , получаем $2 > 3$ .

3. Неравенство невозможно.

Ответ

$\varnothing$

03. Повышенный уровень: задания 36-40

Задание 36

Решите $3^{2x} - 10 \cdot 3^{x} + 9 < 0$ .

Ответ и решение к заданию 36

1. $t = 3^{x} > 0$ .

2. $(t - 1)(t - 9) < 0$ , значит $1 < t < 9$ .

3. $0 < x < 2$ .

Ответ

$(0;2)$

Задание 37

Решите $\log_{2}(x - 2) \geq 0$ .

Ответ и решение к заданию 37

1. ОДЗ: $x > 2$ .

2. $x - 2 \geq 1$ .

3. $x \geq 3$ .

Ответ

$\lbrack 3; + \infty)$

Задание 38

Решите $\log_{\frac{1}{2}}(x - 2) > 0$ .

Ответ и решение к заданию 38

1. ОДЗ: $x > 2$ .

2. Функция убывает: $x - 2 < 1$ .

3. $2 < x < 3$ .

Ответ

$(2;3)$

Задание 39

Решите $\log_{2}x < 2$ .

Ответ и решение к заданию 39

1. ОДЗ: $x > 0$ .

2. Функция возрастает: $x < 4$ .

3. Ответ $(0;4)$ .

Ответ

$(0;4)$

Задание 40

Решите $\log_{3}\left( x^{2} \right) \geq 2$ .

Ответ и решение к заданию 40

1. ОДЗ: $x \neq 0$ .

2. $x^{2} \geq 9$ .

3. $x \leq - 3$ или $x \geq 3$ .

Ответ

$\left( - \infty; - 3\rbrack \cup \lbrack 3; + \infty \right)$

Изучить теорию . Повторить предыдущую тему .