Урок 2. Обыкновенные и десятичные дроби

Разбор 1. Сравнение дробей через одинаковые доли

Уровень: База.

Условие

Сравните дроби.

$$\frac{3}{4}\quad\text{и}\quad\frac{5}{8}$$

До вычислений.

Три четверти больше половины; пять восьмых тоже больше половины. Нужен точный перевод к одинаковым восьмым долям.

1. Выбираем общий знаменатель

   $$4 \cdot 2 = 8$$

   Четверти легко превратить в восьмые; дробь 5/8 уже имеет нужный знаменатель.

2. Расширяем первую дробь

   $$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{6}{8}$$

   Числитель и знаменатель умножаются на одно число, поэтому значение дроби не меняется.

3. Сравниваем числители

   $$\frac{6}{8} > \frac{5}{8}$$

   При одинаковом размере доли шесть долей больше пяти.

Проверка. На рисунке закрашенная часть 6/8 действительно длиннее части 5/8 на одну восьмую.

Типичная ошибка. Сравнивать 3 и 5, не учитывая, что четверти крупнее восьмых.

Ответ.

$$\frac{3}{4} > \frac{5}{8}$$

Разбор 2. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Уровень: База.

Условие

Вычислите.

$$\frac{3}{4} + \frac{2}{3} - \frac{5}{6}$$

До вычислений.

3/4 + 2/3 больше 1, а затем вычитается число меньше 1. Итог должен быть положительным и меньше 1.

1. Находим наименьший общий знаменатель

   $$НОК(4,3,6) = 12$$

   12 делится на каждый из трёх знаменателей.

2. Приводим дроби к знаменателю 12

   $$\frac{3}{4} = \frac{9}{12},\quad\frac{2}{3} = \frac{8}{12},\quad\frac{5}{6} = \frac{10}{12}$$

   Мы меняем запись, но не значение каждой дроби.

3. Выполняем действия с числителями

   $$\frac{9}{12} + \frac{8}{12} - \frac{10}{12} = \frac{7}{12}$$

   Знаменатель сохраняется: размер доли уже общий.

Проверка. 7/12 примерно равно 0,58 - число положительное и меньше 1, как ожидалось.

Типичная ошибка. Сложить или вычесть знаменатели вместе с числителями.

Ответ.

$$\frac{7}{12}$$

Разбор 3. Умножение дробей с сокращением до вычисления

Уровень: Основной.

Условие

Вычислите.

$$\frac{14}{15} \cdot \frac{25}{28}$$

До вычислений.

Обе дроби меньше 1, поэтому произведение тоже должно быть меньше 1.

1. Сокращаем 14 и 28

   $$\frac{14}{28} = \frac{1}{2}$$

   Оба числа делятся на 14.

2. Сокращаем 25 и 15

   $$\frac{25}{15} = \frac{5}{3}$$

   Оба числа делятся на 5.

3. Перемножаем оставшиеся множители

   $$\frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 2} = \frac{5}{6}$$

   После сокращения числа небольшие, и ошибка менее вероятна.

Проверка. 5/6 меньше 1. Приблизительно 0,83 - это согласуется с оценкой.

Типичная ошибка. Сначала получить 350/420 и затем искать большой общий делитель.

Ответ.

$$\frac{5}{6}$$

Разбор 4. Деление дробей

Уровень: Основной.

Условие

Вычислите.

$$\frac{7}{12}:\frac{14}{9}$$

До вычислений.

Делим число меньше 1 на число больше 1, поэтому ответ должен стать ещё меньше.

1. Заменяем деление умножением

   $$\frac{7}{12}:\frac{14}{9} = \frac{7}{12} \cdot \frac{9}{14}$$

   Дробь 9/14 обратна делителю 14/9.

2. Сокращаем до умножения

   $$\frac{7}{14} = \frac{1}{2},\quad\quad\frac{9}{12} = \frac{3}{4}$$

   Сокращение уменьшает числа и сохраняет значение произведения.

3. Перемножаем

   $$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8}$$

   Полученное число меньше 7/12, что соответствует предварительной оценке.

Проверка. Умножьте 3/8 на 14/9: получится 7/12.

Типичная ошибка. Перевернуть обе дроби или оставить знак деления после переворота.

Ответ.

$$\frac{3}{8}$$

Разбор 5. Смешанное число и неправильная дробь

Уровень: Основной.

Условие

Вычислите.

$$2\frac{1}{3} - \frac{5}{6}$$

До вычислений.

Из числа немного больше 2 вычитается число немного меньше 1. Ответ ожидается между 1 и 2.

1. Переводим смешанное число

   $$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$$

   Две целых - это шесть третьих; вместе с одной третью получаем семь третьих.

2. Приводим к знаменателю 6

   $$\frac{7}{3} = \frac{14}{6}$$

   Теперь обе дроби состоят из шестых долей.

3. Вычитаем и выделяем целую часть

   $$\frac{14}{6} - \frac{5}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$$

   Сокращаем на 3 и переводим результат в смешанную форму.

Проверка. 1,5 находится между 1 и 2, как показала оценка.

Типичная ошибка. Вычесть 5/6 только из числителя 1, сохранив целую часть 2.

Ответ.

$$1\frac{1}{2}$$

Разбор 6. Переход между десятичной и обыкновенной дробью

Уровень: Экзамен.

Условие

Вычислите.

$$1,25 + \frac{7}{20}$$

До вычислений.

1,25 + 0,35 должно дать 1,60. Это позволяет заранее контролировать ответ.

1. Переводим десятичную дробь

   $$1,25 = \frac{125}{100} = \frac{5}{4}$$

   В числе две цифры после запятой, поэтому первоначальный знаменатель равен 100.

2. Приводим к знаменателю 20

   $$\frac{5}{4} = \frac{25}{20}$$

   Знаменатель 4 умножаем на 5; числитель также умножаем на 5.

3. Складываем и переводим ответ

   $$\frac{25}{20} + \frac{7}{20} = \frac{32}{20} = \frac{8}{5} = 1,6$$

   Ответ удобно записать десятичной дробью для краткого ответа.

Проверка. 7/20 = 0,35; сумма 1,25 + 0,35 = 1,60.

Типичная ошибка. Складывать 1,25 и числитель 7 без перевода к одной форме.

Ответ.

$$1,6$$

Разбор 7. Целое по известной дробной части

Уровень: Экзамен.

Условие

Ученик выполнил 24 задания, что составляет 3/8 всей работы. Сколько заданий было всего и сколько осталось?

До вычислений.

3/8 меньше половины. Поэтому полное число заданий должно быть больше 48.

1. Обозначаем всё количество

   $$\frac{3}{8}x = 24$$

   Три восьмых от полного количества равны 24.

2. Восстанавливаем целое

   $$x = 24:\frac{3}{8} = 24 \cdot \frac{8}{3} = 64$$

   Деление на 3/8 показывает, сколько составляет восемь таких частей.

3. Находим оставшуюся часть

   $$64 - 24 = 40$$

   Из полного количества вычитаем уже выполненные задания.

Проверка. 3/8 от 64 равно 24; 24 + 40 = 64.

Типичная ошибка. Умножить 24 на 3/8 и получить ещё меньшую величину вместо целого.

Ответ. всего 64 задания, осталось 40.

$$64;\quad 40$$