Урок 16. Классическая вероятность

01. Модель: что именно выбирают случайно

Вероятность описывает случайный опыт с заданными правилами. Элементарный исход - полностью определённый результат опыта, событие - множество подходящих исходов. Обозначим пространство исходов $\Omega$, событие $A\subseteq\Omega$. В этом уроке основной случай - конечное пространство с равновозможными исходами.

Сначала сформулируйте исход, затем считайте. У одного кубика исход - число, у двух различимых кубиков - упорядоченная пара. При выборе команды исход - множество людей, если роли не назначаются. Слово «случайно» не всегда гарантирует одинаковые вероятности: равновероятность должна следовать из условия или обоснованной симметрии.

Контрпример. В мешке девять белых шаров и один чёрный. Отдельные шары равновозможны, но два названия цветов - нет: их вероятности $\frac9{10}$ и $\frac1{10}$. Нельзя делить число подходящих цветов на число всех цветов.

02. Классическая формула и её доказательство

Пусть имеется $N>0$ равновозможных исходов. Если вероятность каждого равна $q$, то $Nq=1$, следовательно, $q=\frac1N$. Событие из $M$ исходов имеет вероятность $$P(A)=\frac MN,\qquad 0\leq M\leq N.$$ Здесь используется сложение вероятностей несовместимых элементарных исходов. Поэтому $0\leq P(A)\leq1$, $P(\varnothing)=0$, $P(\Omega)=1$ .

Пример. Из чисел 1-24 равновероятно выбирают одно. Кратных 5 четыре: 5, 10, 15, 20. Вероятность $\frac4{24}=\frac16$. Число 0 не учитывается, поскольку не входит в исходный диапазон. Числитель и знаменатель должны описывать объекты одного типа.

03. Дополнение, «и», «или» и границы

Противоположное событие $\overline A=\Omega\setminus A$ содержит все исходы, не входящие в $A$. Множества не пересекаются и покрывают $\Omega$, поэтому $P(\overline A)=1-P(A)$. Слова «хотя бы один» часто проще заменить на «не ни одного».

Для двух событий $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$: общие исходы в сумме посчитаны дважды. Союз «или» означает объединение, допускающее одновременное выполнение, если условие специально не требует «ровно одного». Союз «и» означает пересечение.

Пример. Среди чисел 1-24 кратных 4 шесть, кратных 6 четыре, общих кратных 12 два. Поэтому вероятность делимости на 4 или 6 равна $\frac{6+4-2}{24}=\frac13$ .

«Больше 4» не включает 4; «не меньше 4» включает. «Ровно два» исключает три, а «не менее двух» включает все возможные количества начиная с двух.

04. Правила подсчёта: сумма и произведение

Если варианты разбиты на непересекающиеся группы, их числа складываются. Если первый выбор имеет $a$ вариантов, а после каждого первого второй имеет ровно $b$ вариантов, последовательность имеет $ab$ вариантов. Это правило подсчёта; оно само по себе не утверждает независимость случайных событий.

Пример. Код из трёх цифр с разрешённым начальным нулём имеет $10^3=1000$ вариантов. Трёхзначных чисел только $9\cdot10^2=900$. Без повторения цифр трёхзначных чисел $9\cdot9\cdot8=648$: на втором месте ноль допустим, но первая цифра запрещена.

При переменном числе продолжений нужно разбивать выбор на случаи, а не умножать несогласованные числа вариантов. Проверка подсчёта: каждый допустимый объект должен порождаться ровно один раз.

05. Кубики: таблица равновозможных пар

При независимых бросках двух правильных кубиков каждая пара $(i;j)$ имеет вероятность $\frac1{36}$. Пары $(2;5)$ и $(5;2)$ различны. Таблица $6\times6$ даёт полный перечень без пропусков.

Разобранный пример. Сумму 9 дают $(3;6),(4;5),(5;4),(6;3)$, поэтому $P=\frac4{36}=\frac19$. Суммы 2 и 7 не равновозможны: первую даёт одна пара, вторую шесть. Поэтому считать 11 возможных сумм и применять к ним формулу с равными весами нельзя.

Для максимума ровно $k$, $1\leq k\leq6$, подходят пары из квадрата $k\times k$, но не из квадрата $(k-1)\times(k-1)$. Число равно $k^2-(k-1)^2=2k-1$. Для $k=4$ вероятность $\frac7{36}$ .

06. Монеты и полный перечень последовательностей

При $n$ независимых бросках симметричной монеты исход - последовательность длины $n$. Таких последовательностей $2^n$, каждая равновероятна. Дерево ветвится на орла и решку на каждом шаге. Конечные пути, а не промежуточные вершины, образуют пространство исходов.

Пример. В трёх бросках хотя бы два орла означают ООО, ООР, ОРО, РОО: вероятность $\frac48=\frac12$. Ровно два орла - лишь три последних пути, вероятность $\frac38$. Хотя бы один орёл - дополнение к РРР, вероятность $\frac78$ .

Если монета несимметрична или броски зависимы, одних $2^n$ записей недостаточно для равных весов. Такие модели и формулы условной вероятности подробно рассматриваются в следующем уроке.

07. Перестановки, факториал и сочетания

Факториал $n!=1\cdot2\cdots n$ считает порядки $n$ различных объектов. Договариваемся $0!=1$: пустой набор имеет один порядок. Если выбираются $k$ объектов из $n$ без повторений и с учётом порядка, число выборов $n(n-1)\cdots(n-k+1)$ .

Без учёта порядка каждый набор посчитан $k!$ раз. Поэтому $$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!},\quad n,k\in\mathbb Z,\quad0\leq k\leq n.$$ В частности, $C_n^0=C_n^n=1$. Выбор команды не различает перестановки людей; назначение капитана и заместителя различает. Нельзя использовать сочетания в знаменателе и упорядоченные выборы в числителе.

Пример. Из семи человек выбирают двух: $C_7^2=21$ пар. Если одному поручают роль ведущего, а второму секретаря, вариантов $7\cdot6=42$. Число исходов удвоилось, поскольку появились различимые роли.

08. Выбор без возвращения и состав команды

Если все последовательные выборы отдельных объектов равновероятны, каждый неупорядоченный набор имеет одинаковое число порядков, поэтому и наборы равновероятны. При одновременном выборе удобно считать их сочетаниями. Объекты одного цвета остаются различными физическими объектами.

Пример. Из четырёх белых и шести чёрных шаров выбирают два. Всего $C_{10}^2=45$ пар, белых пар $C_4^2=6$. Вероятность двух белых $\frac2{15}$. Для ровно одного белого - $\frac{4\cdot6}{45}=\frac8{15}$. Для двух чёрных - $\frac{C_6^2}{45}=\frac13$. Сумма трёх вероятностей 1.

Составное ограничение. Из пяти девушек и шести юношей выбирают троих; требуется хотя бы две девушки. Благоприятных составов $C_5^2C_6^1+C_5^3=60+10=70$, всех $C_{11}^3=165$. Вероятность $\frac{14}{33}$. Разбиение по числу девушек несовместимо и полно.

09. Ограничения на позиции: блоки и промежутки

Если два конкретных объекта должны стоять рядом, их можно сжать в блок, отдельно учитывая порядок внутри. Например, среди $5!$ перестановок пяти книг две заданные соседствуют в $2\cdot4!$ случаях; вероятность $\frac25$ .

Для отсутствия соседства используют промежутки. Выберем $k$ мест из $n$ в ряд, $i_1<\cdots<i_k$, с расстоянием между соседними выбранными номерами не меньше 2. Замена $j_s=i_s-(s-1)$ даёт обычный выбор $k$ разных чисел из $1,\ldots,n-k+1$. Обратная замена $i_s=j_s+s-1$ восстанавливает набор. Значит, число вариантов $C_{n-k+1}^k$, если $n\geq2k-1$, иначе 0.

Пример. Два несоседних места из семи: $C_6^2=15$ вариантов из $C_7^2=21$, вероятность $\frac57$. Для ровно одной пары соседей надо отдельно исключать длинный сплошной блок, который содержит несколько соседних пар.

10. Повторяющиеся буквы: почему множители сокращаются

Если среди $n$ букв одна повторяется $r_1$ раз, другая $r_2$ раз и так далее, различных порядков $\frac{n!}{r_1!r_2!\cdots}$. Это следует из временной нумерации одинаковых букв: каждое ненумерованное слово получается одинаковым числом способов.

Пример. У слова «АЛГЕБРА» четыре различные согласные и три гласные А, А, Е. Всего $\frac{7!}{2!}=2520$ перестановок. Согласные расставляются $4!$ способами и создают пять промежутков. Для несоседних гласных выбираем три промежутка и задаём порядок гласных: $4!C_5^3\frac{3!}{2!}=720$ вариантов. Вероятность $\frac{720}{2520}=\frac27$ .

Число гласных не должно превышать число промежутков. Каждый допустимый порядок единственным образом восстанавливается после удаления гласных - это доказательство отсутствия повторного счёта, а не только вычисление формулы.

11. Включение-исключение и классы остатков

Для трёх множеств сначала складывают их размеры, вычитают три попарных пересечения, затем прибавляют тройное. Каждый объект из двух множеств получает коэффициент $2-1=1$, из трёх - $3-3+1=1$ .

Пример. Три письма случайно попадают в три конверта по одному. Перестановок без верных попаданий $3!-3\cdot2!+3\cdot1!-1=2$, вероятность $\frac13$. Сначала исключены перестановки с одним фиксированным верным письмом, затем восстановлены лишние вычитания пересечений. В задаче о четырёх письмах действует тот же принцип.

При делимости суммы удобно разбивать числа на классы остатков. Для трёх слагаемых сумма кратна 3, если все остатки одинаковы либо равны 0, 1, 2 в некотором порядке. Это проверяется полным перечнем неупорядоченных троек остатков; при двух одинаковых и третьем другом сумма не кратна 3. Числа внутри каждого класса выбирают сочетаниями, а между классами - по правилу произведения.

12. Параметры: число объектов остаётся целым

В задачах о неизвестном составе коробки сначала фиксируют область: количества - целые неотрицательные числа, всего объектов достаточно для выбора. Вероятность находится в $[0;1]$, но не обязана принимать все значения этого отрезка.

Пример. В коробке восемь шаров, $r$ красных. Для пары разных цветов $$P(r)=\frac{r(8-r)}{C_8^2}=\frac{16-(r-4)^2}{28},\quad r\in\{0,1,\ldots,8\}.$$ Максимум $\frac47$ при 4. Равенство $P=a$ может иметь только значения $a\in\{0,\frac14,\frac37,\frac{15}{28},\frac47\}$. Первым четырём соответствуют две симметричные композиции, последнему одна. График следует рисовать отдельными точками, а не заполнять промежутки непрерывной параболой.

Если неизвестно общее число объектов, после уравнения нужно отобрать целые допустимые корни. Например, при двух красных и вероятности двух красных $\frac1{15}$ получаем $\frac2{N(N-1)}=\frac1{15}$, откуда $N=6$ или $-5$; допустимо только 6.

13. Геометрические конфигурации и расширение модели

Выбор трёх вершин многоугольника - всё ещё конечная классическая модель. В правильном десятиугольнике $C_{10}^3=120$ троек. Прямоугольный вписанный треугольник имеет диаметр в качестве гипотенузы: его прямой угол опирается на полуокружность. Пять диаметров и восемь вариантов третьей вершины дают 40 треугольников, без повторения, потому что гипотенуза единственна. Вероятность $\frac13$ .

Равномерный выбор точки на отрезке или в фигуре - другая, непрерывная модель. Конечное число исходов здесь посчитать нельзя. При одинаковой плотности вероятность равна отношению длин или площадей. Без равномерности это неверно.

Пример. Точка равномерно выбирается на $[0;12]$. Попадание в $[3;7]$ имеет вероятность $\frac{7-3}{12}=\frac13$. Граничные точки имеют нулевую длину и не влияют на вероятность. Для площади сначала доказывают вложение вычитаемой области: нельзя вычитать целый круг, если часть круга лежит за пределами исходной фигуры. В заключительной практике это проверяется неравенством $(|x|+|y|)^2\leq2(x^2+y^2)$ .

14. Частота, проверка решения и типичные ошибки

Относительная частота $\nu=\frac{k}{n}$ вычисляется по данным $n>0$ проведённых опытов, где событие встретилось $k$ раз. Теоретическая вероятность относится к модели до наблюдения. Частота может приближать её в длинных сериях при подходящих предпосылках, но не обязана точно совпадать с ней.

Перед ответом проверьте: исходы равновозможны; пространство не потеряло начальный ноль или крайнее значение; порядок одинаково учтён в числителе и знаменателе; случаи несовместимы и полны; пересечения не посчитаны дважды; для неизвестных количеств сохранена целочисленность. Итог должен лежать в $[0;1]$, но этого условия недостаточно для доказательства правильности.

Типичные ошибки: считать цвета вместо шаров; считать суммы двух кубиков равновероятными; заменять «ровно» на «хотя бы»; возвращать объект мысленно при выборе без возвращения; применять правило произведения вероятностей без независимости; терять повторяющиеся буквы; считать непрерывную кривую вместо дискретных значений параметра.

Основные модели соответствуют теме вероятности профильного ЕГЭ; расширенные комбинаторные доказательства и геометрическая вероятность развивают обоснование и не объявляются копиями стандартного экзаменационного номера. На занятии сначала просите назвать элементарный исход, затем объяснить равновозможность и полноту подсчёта. Следующий урок посвящён сложным вероятностным моделям.

15. Скачать PDF

Материалы для печати собраны из тех же условий, формул, рисунков и решений.