Урок 13. Прикладные расчёты

01. От жизненной ситуации к математической модели

Прикладная задача связывает измеряемые величины формулой, таблицей, графиком или описанием операций. Её решение состоит не только в вычислении: нужно установить смысл переменных, область применимости модели и единицу ответа.

Например, формула $s=vt$ описывает равномерное движение с постоянной скоростью. Если транспорт стоял часть времени, нельзя умножать скорость движения на всё время поездки. Так же годовая ставка не определяет сумму вклада без порядка пополнений и снятий.

В этом уроке соединяются арифметика, уравнения, неравенства и исследование функций. Короткие расчёты готовят к прикладным заданиям, а заключительные задачи развивают обоснование, работу с целыми величинами и параметрами. Условные тарифы, цены и кредитные схемы здесь заданы для обучения и не описывают предложения банков.

02. Единицы, размерность и точность

Перед подстановкой выпишите единицу каждой величины. В $P=\frac At$ энергия в джоулях и время в секундах дают мощность в ваттах. Если работа дана в килоджоулях, её число нужно умножить на 1000; минуты переводят в секунды умножением на 60.

Площадь и объём переводятся с квадратом и кубом коэффициента: $1$ м² $=10000$ см², $1$ м³ $=1000000$ см³. Плотность — масса единицы объёма: $\rho=\frac{m}{V}$. Для плотности можно либо согласовать граммы с кубическими сантиметрами, либо полностью перейти к СИ. Смешивать граммы с килограммами в одной подстановке нельзя.

Пример. Полезная работа 480 кДж за 4 минуты при КПД 75%. Затраченная энергия $\frac{480000}{0{,}75}=640000$ Дж, входная мощность $\frac{640000}{240}=\frac{8000}{3}$ Вт. Если округление не требуется, дробь точнее десятичного приближения. Округляйте лишь окончательный результат и только по условию.

03. Как выражать неизвестное и проверять корни

Из $E=\frac{mv^2}{2}$ при $m>0$, $E\geq0$, $v\geq0$ следует $v=\sqrt{\frac{2E}{m}}$. Отрицательный алгебраический корень не подходит, если $v$ обозначает модуль скорости. Но для координаты или проекции скорости отрицательные значения могут быть осмысленными: ограничение берётся из определения величины, а не из привычки.

Из $T=2\pi\sqrt{\frac lg}$ при $T,l,g>0$ получаем $\frac{T}{2\pi}=\sqrt{\frac lg}$, затем $l=\frac{gT^2}{4\pi^2}$. Возведение в квадрат равносильно, поскольку обе части неотрицательны.

Умножать уравнение на выражение с переменной можно только с сохранением ОДЗ. В неравенстве дополнительно требуется знать знак множителя. Например, $\frac{U}{R+r}\leq I_0$ при $R\geq0$, $r,U,I_0>0$ равносильно $R\geq\frac{U}{I_0}-r$ с последующим пересечением с $R\geq0$ .

04. Проценты: коэффициенты вместо сложения

Если величина $A>0$ увеличилась на $p\%$, новая величина равна $A\left(1+\frac p{100}\right)$. При снижении на $p\%$ коэффициент равен $1-\frac p{100}$; в обычной модели цены требуется $0\leq p\leq100$ .

Последовательные изменения перемножаются. Снижение на 10%, затем повышение на 10% даёт $0{,}9\cdot1{,}1=0{,}99$: итоговая потеря 1%, а не ноль. Чтобы восстановить цену после снижения на $p<100$ процентов, необходим рост на $\frac{100p}{100-p}$ процентов. Это следует из $\left(1-\frac p{100}\right)\left(1+\frac r{100}\right)=1$ .

В обратной задаче делите конечное значение на произведение коэффициентов. Пример: после скидок 20% и 5% цена 7600 рублей. Исходная цена $\frac{7600}{0{,}8\cdot0{,}95}=10000$ рублей.

Процентный пункт отличается от процента: изменение ставки с 5% до 7% - это 2 процентных пункта, а относительный рост самой ставки равен 40%.

05. Концентрации и сохранение вещества

Массовая доля $c$ - отношение массы растворённого вещества к полной массе раствора. В формулах 15% записывается числом 0,15. При смешивании без потерь сохраняется масса вещества:

$$c_1m_1+c_2m_2=c(m_1+m_2).$$

Новая концентрация - взвешенное среднее; если обе массы положительны и исходные концентрации различны, она строго между $c_1$ и $c_2$. При одинаковых исходных концентрациях итоговая доля равна им при любом соотношении масс с положительной суммой. Простое среднее концентраций равно итоговой доле при равных массах или одинаковых исходных концентрациях.

Пример. К 10 кг 10%-го раствора добавляют $x$ кг 30%-го до концентрации 20%. Баланс $1+0{,}3x=0{,}2(10+x)$ даёт $x=10$ кг. При испарении чистой воды масса вещества постоянна, меняется лишь знаменатель доли.

Если удаляют часть перемешанного раствора, уходит и соответствующая доля вещества. При замене доли $r$ раствора водой после $n$ шагов масса вещества $M_n=M_0(1-r)^n$. Это не линейное уменьшение.

06. Арифметическая прогрессия: постоянная прибавка

Последовательность с условием $a_{k+1}=a_k+d$ называется арифметической прогрессией. После $n-1$ прибавлений $a_n=a_1+(n-1)d$ .

Для суммы запишем последовательность в прямом и обратном порядке. Каждая из $n$ пар имеет сумму $a_1+a_n$, поэтому

$$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}2=\frac{n(2a_1+(n-1)d)}2.$$

Пример. Выпуск в первом месяце 12 единиц, ежемесячная прибавка 3. За 8 месяцев $a_8=33$, $S_8=\frac{8(12+33)}2=180$. Число прибавлений на единицу меньше номера последнего месяца.

В модели целого выпуска проверяйте, что все члены - допустимые целые неотрицательные величины. Формально верная прогрессия с отрицательным выпуском в одном из месяцев физически не подходит.

07. Геометрическая прогрессия и капитализация

При одинаковом относительном изменении $b_{k+1}=qb_k$. Тогда $b_n=b_1q^{n-1}$. Если $q\ne1$, из разности $qS_n-S_n$ получается

$$S_n=b_1\frac{q^n-1}{q-1}.$$

При $q=1$ формула с делением неприменима, но непосредственно $S_n=nb_1$ .

При ежегодной капитализации ставка $p\%$ даёт сумму $A_n=A_0\left(1+\frac p{100}\right)^n$. При простых процентах начисление каждый год идёт только на исходную сумму: $A_n=A_0\left(1+\frac{np}{100}\right)$. Эти модели совпадают за первый год, но обычно различаются дальше.

Пример. 100000 рублей под 10% за два года дадут 121000 с капитализацией и 120000 без неё. Если ставка меняется, общий коэффициент - произведение коэффициентов отдельных лет, а не степень среднего процента.

08. Порядок операций: пополнения, снятия, платежи

Обозначим остаток после $k$-го периода через $D_k$. Если сначала начисляют проценты с коэффициентом $q$, затем вносят платёж $P$, то $D_k=qD_{k-1}-P$. Если сначала платят, а потом начисляют проценты, формула другая: $D_k=q(D_{k-1}-P)$. Переставлять операции нельзя.

При одинаковых платежах развернём рекурсию:

$$D_n=q^nD_0-P(1+q+\cdots+q^{n-1}).$$

Отсюда для погашения за $n$ периодов

$$P=\frac{q^nD_0}{1+q+\cdots+q^{n-1}}.$$

Эта форма корректна и при $q=1$, когда $P=\frac{D_0}{n}$. После нахождения платежа проверяют промежуточные остатки: они должны соответствовать условию, например оставаться положительными до последнего года.

Для пополнений знак меняется на плюс. Если равные взносы $A$ вносят в конце года на изначально пустой счёт, после $n$-го взноса сумма $A(1+q+\cdots+q^{n-1})$. Последний взнос ещё не получает годовых процентов.

09. Равные части долга и равные платежи

Это разные схемы. При равных частях основного долга каждый раз возвращают $\frac Dn$. Перед $k$-м начислением остаток $D\frac{n-k+1}{n}$. При ставке $r$ в долях единицы полный платёж

$$P_k=\frac Dn+rD\frac{n-k+1}{n}.$$

При $r>0$ платежи убывают. Их сумма равна

$$D+r\frac{D(n+1)}2.$$

Последнее равенство следует из суммы арифметической прогрессии остатков. При переменных ставках каждый процент умножают на свой остаток; заменить все ставки их обычным средним нельзя.

Пример. Долг 600000 рублей, три равные части основного долга, ставка 10%. Остатки 600000, 400000, 200000; проценты 60000, 40000, 20000. Полные платежи 260000, 240000, 220000; сумма 720000 рублей.

10. Показательные модели и первое достижение порога

Распад, охлаждение и обесценение часто описываются множителем $q^t$ с $0<q<1$. Такая функция строго убывает. В модели $T(t)=T_{\text{ср}}+(T_0-T_{\text{ср}})q^t$ при $T_0>T_{\text{ср}}$ температура приближается к температуре среды сверху, но не достигает её за конечное время.

Пример. $T(t)=20+80\cdot2^{-\frac{t}{10}}$. Условие $T(t)\leq30$ даёт $2^{-\frac{t}{10}}\leq\frac18=2^{-3}$, откуда $t\geq30$. Знак меняется при умножении на отрицательное число -10. Если потребовать $T\leq20$, решений не будет.

Если процессы происходят раз в год или шаг, переменная целая. Решив вещественное неравенство, выберите первое целое и обязательно проверьте его и предыдущее. При строгом пороге равенство не допускается.

11. Логарифмы и обратные формулы

Логарифм $\log_b z$ определён при $z>0$, $b>0$, $b\ne1$ и означает показатель степени, в которую нужно возвести $b$, чтобы получить $z$. Поэтому $\log_b z=c$ равносильно $z=b^c$ на ОДЗ.

В модели $L=10\log_{10}\frac{I}{I_0}$ отношение $\frac{I}{I_0}$ безразмерно и положительно. Для двух измерений при одном $I_0$ разность уровней

$$L_2-L_1=10\log_{10}\frac{I_2}{I_1}.$$

Рост уровня на 10 означает рост интенсивности в 10 раз; на 30 - в 1000 раз. Нельзя трактовать эти 30 единиц как увеличение интенсивности на 30%.

При решении $q^t\leq b$ логарифмирование требует $q,b>0$. Если $0<q<1$, то $\ln q<0$, и деление на него меняет направление неравенства. Проверка на одном простом значении помогает обнаружить ошибку знака.

12. Физическая область важнее формального корня

Алгебраическое продолжение модели может описывать несуществующий режим. При торможении $v(t)=v_0-at$, $S(t)=v_0t-\frac{at^2}{2}$ действуют для $0\leq t\leq\frac{v_0}{a}$, если после остановки тело не начинает двигаться обратно. За пределами этого промежутка нельзя считать значение параболы пройденным путём.

Пример. При $v_0=20$ м/с, $a=4$ м/с² остановка через 5 с. Уравнение $20t-2t^2=48$ даёт корни 4 и 6, но только 4 входит в $[0;5]$. Вторая точка лежит на недопустимом продолжении графика.

В других задачах ограничения возникают из положительности массы, длины, концентрации от 0 до 1, неотрицательности цены, вместимости резервуара. Выпишите их до решения; затем отберите корни и подставьте в исходную модель.

13. Оптимизация и целочисленный ответ

Прибыль равна выручке минус затраты, а не цене изделия. Если цена зависит от выпуска, выручка $R(x)=xp(x)$. Для непрерывной модели на замкнутом отрезке сравнивают значения целевой функции на концах и во всех внутренних критических точках.

Пример. $P(x)=1000-(x-12{,}4)^2$, целые $0\leq x\leq20$. Вещественный максимум при $x=12{,}4$ недопустим. Достаточно сравнить соседние целые 12 и 13: квадраты отклонений 0,16 и 0,36. Максимум 999,84 достигается при 12. Обоснование: квадрат возрастает с расстоянием от вершины, все остальные целые дальше.

Округление «по привычному правилу» не заменяет сравнения в произвольной функции. Если производная меняет знак несколько раз, сначала требуется полное исследование всех допустимых участков.

Геометрическая модель: закрытый цилиндр. Пусть радиус основания $r$ и высота $h$ положительны. Объём равен площади основания, умноженной на высоту:

$$V=\pi r^2h$$

У закрытого цилиндра два круглых основания, каждое площадью $\pi r^2$. Развёртка боковой поверхности — прямоугольник с высотой $h$ и шириной, равной длине окружности $2\pi r$. Поэтому полная площадь поверхности

$$S=2\pi r^2+2\pi rh$$

При заданном положительном объёме сначала выражают высоту из формулы объёма, затем подставляют её в площадь. Получается функция одной переменной — радиуса. Исследуют её только на допустимой области: ограничения на радиус могут исключить свободную точку минимума.

14. Параметры: где меняется число решений

Параметр - фиксированное, но неизвестное число, описывающее семейство задач. Критические значения возникают не только при нулевом дискриминанте, но и при пересечении корнем границы области.

Рассмотрим бюджет $C(t)=t+\frac4t\leq a$ при $t\in[1;6]$. Минимум $C(2)=4$, значения на концах $C(1)=5$, $C(6)=\frac{20}{3}$. Именно эти три уровня меняют вид допустимого множества. При $a=4$ остаётся одна точка; затем возникает отрезок; после достижения уровня 5 его левая граница закрепляется в 1, а при $a=\frac{20}{3}$ доступен весь рабочий диапазон.

Универсальный приём: сначала решить неравенство на естественной ОДЗ, затем пересечь с физической областью и отдельно проверить каждое критическое значение. Для ответа «при любой допустимой величине» ищите наихудший случай, доказывая монотонность, а не проверяя несколько произвольных примеров.

15. Типичные ошибки и самостоятельная проверка

Проверяйте решение в обратном направлении: соответствует ли найденное число исходной ситуации? Правильное преобразование ошибочно составленного уравнения не спасает ответ.

Не складывайте последовательные проценты; не путайте равные доли основного долга с равными платежами. Не применяйте формулу суммы геометрической прогрессии с делением на $q-1$ при $q=1$. Не округляйте дробное количество лет вниз, если требуется первое полное число лет достижения порога.

Проверьте размерность, знаки, физические границы и целочисленность; подставьте ответ в первоначальную формулу. В задачах на минимум докажите, что других кандидатов нет. Для параметра выпишите все ветви и проверьте равенства на границах.

Контроль понимания. После падения цены на 50% для восстановления нужен рост на 100%. После двух замен половины раствора чистой водой остаётся четверть первоначальной массы соли. В модели торможения корень за временем остановки исключается. Каждое утверждение объясняется коэффициентом или областью модели, а не запоминанием ответа.

16. Скачать PDF

Материалы для печати собраны из тех же условий, формул, рисунков и решений.