Урок 18. Тестовые задания (40 вопросов)

10.10.2026 - Яна -

Математика
ЕГЭ
Профиль
Тесты

В тесте 40 заданий: 36 по теме «Вероятность: несколько событий», 4 на повторение (прогрессии, движение, экстремумы и смеси). Задания 1-20 начального уровня, 21-35 среднего, 36-40 повышенного. Сначала решите самостоятельно, затем откройте ответ и объяснение.

Изучить теорию Задания в PDF Ответы и решения в PDF

Содержание

Начальный уровень: задания 1-20
Средний уровень: задания 21-35
Повышенный уровень: задания 36-40

01. Начальный уровень: задания 1-20

Задание 1

Честную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что оба раза выпадет орёл.

Ответ и решение к заданию 1

1. Вероятность орла в каждом независимом броске равна $\dfrac{1}{2}$ .

2. $P = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$ .

Ответ: $\dfrac{1}{4}$

Задание 2

Игральный кубик бросают дважды. Найдите вероятность того, что в первый раз выпадет чётное число, а во второй - число больше 4.

Ответ и решение к заданию 2

1. В первом броске подходят 2, 4, 6: вероятность $\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ .

2. Во втором подходят 5, 6: вероятность $\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$ .

3. Броски независимы: $P = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}$ .

Ответ: $\dfrac{1}{6}$

Задание 3

Вероятности отказа двух независимых устройств равны 0,1 и 0,2. Найдите вероятность того, что оба устройства будут работать.

Ответ и решение к заданию 3

1. Вероятности работы равны 0,9 и 0,8.

2. $P\left( \text{оба работают} \right) = 0,9 \cdot 0,8 = 0,72$ .

Ответ: 0,72

Задание 4

Монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что все три раза выпадет решка.

Ответ и решение к заданию 4

1. Все броски независимы, вероятность решки в каждом равна $\dfrac{1}{2}$ .

2. $P = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{3} = \dfrac{1}{8}$ .

Ответ: $\dfrac{1}{8}$

Задание 5

Два игрока независимо попадают дротиком в круг с вероятностями 0,8 и 0,7. Найдите вероятность двух попаданий.

Ответ и решение к заданию 5

1. Требуются оба попадания.

2. $P = 0,8 \cdot 0,7 = 0,56$ .

Ответ: 0,56

Задание 6

Бросают игральный кубик. Найдите вероятность выпадения 1 или 6.

Ответ и решение к заданию 6

1. События несовместны; благоприятны два исхода из шести.

2. $P = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$ .

Ответ: $\dfrac{1}{3}$

Задание 7

Из 10 билетов 3 дают главный приз, 2 - утешительный, остальные не дают приза. Выбирают один билет. Найдите вероятность получить любой приз.

Ответ и решение к заданию 7

1. Призовых билетов $3 + 2 = 5$ .

2. $P = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$ .

Ответ: $\dfrac{1}{2}$

Задание 8

Круг разделён на 12 равных секторов: 4 зелёных, 3 жёлтых и 5 белых. Стрелка с равной вероятностью останавливается в любом секторе. Найдите вероятность зелёного или жёлтого сектора.

Ответ и решение к заданию 8

1. Зелёный и жёлтый цвет несовместны.

2. Благоприятны $4 + 3 = 7$ секторов из 12.

3. $P = \dfrac{7}{12}$ .

Ответ: $\dfrac{7}{12}$

Задание 9

Вероятность попадания баскетболиста при одном штрафном броске равна 0,75. Найдите вероятность промаха.

Ответ и решение к заданию 9

1. Промах противоположен попаданию.

2. $P\left( \text{промах} \right) = 1 - 0,75 = 0,25$ .

Ответ: 0,25

Задание 10

Повторение: прогрессии, движение, экстремумы и смеси.

В арифметической прогрессии $a_{1} = 5$ и $d = 3$ . Найдите $a_{6}$ .

Ответ и решение к заданию 10

1. $a_{6} = a_{1} + 5d$ .

2. $a_{6} = 5 + 5 \cdot 3 = 20$ .

Ответ: 20

Задание 11

Честную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что хотя бы один раз выпадет орёл.

Ответ и решение к заданию 11

1. Противоположное событие - две решки.

2. $P\left( \text{РР} \right) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$ .

3. $P\left( \text{хотя бы один орёл} \right) = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$ .

Ответ: $\dfrac{3}{4}$

Задание 12

Кубик бросают дважды. Найдите вероятность того, что хотя бы один раз выпадет 6.

Ответ и решение к заданию 12

1. Вероятность не получить 6 в одном броске равна $\dfrac{5}{6}$ .

2. $P\left( \text{ни одной шестёрки} \right) = \left( \dfrac{5}{6} \right)^{2} = \dfrac{25}{36}$ .

3. Искомая вероятность $1 - \dfrac{25}{36} = \dfrac{11}{36}$ .

Ответ: $\dfrac{11}{36}$

Задание 13

Два независимых сервера отвечают на запрос с вероятностями 0,6 и 0,5. Найдите вероятность, что ответит хотя бы один сервер.

Ответ и решение к заданию 13

1. Ни один не ответит с вероятностью $0,4 \cdot 0,5 = 0,2$ .

2. Искомая вероятность $1 - 0,2 = 0,8$ .

Ответ: 0,8

Задание 14

Монету бросают два раза. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз.

Ответ и решение к заданию 14

1. Подходят ОР и РО.

2. $P = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}$ .

Ответ: $\dfrac{1}{2}$

Задание 15

Два стрелка делают по одному независимому выстрелу. Первый попадает с вероятностью 0,7, второй с вероятностью 0,8. Найдите вероятность ровно одного попадания.

Ответ и решение к заданию 15

1. Первый попал, второй промахнулся: $0,7 \cdot 0,2 = 0,14$ .

2. Первый промахнулся, второй попал: $0,3 \cdot 0,8 = 0,24$ .

3. $P = 0,14 + 0,24 = 0,38$ .

Ответ: 0,38

Задание 16

Два независимых блока работают с вероятностями 0,9 и 0,8. Найдите вероятность того, что работает ровно один блок.

Ответ и решение к заданию 16

1. Работает только первый: $0,9 \cdot 0,2 = 0,18$ .

2. Работает только второй: $0,1 \cdot 0,8 = 0,08$ .

3. $P = 0,18 + 0,08 = 0,26$ .

Ответ: 0,26

Задание 17

В мешке 6 красных, 5 синих и 4 зелёных шара. Выбирают один шар. Найдите вероятность красного или зелёного шара.

Ответ и решение к заданию 17

1. Благоприятны $6 + 4 = 10$ шаров из 15.

2. $P = \dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{3}$ .

Ответ: $\dfrac{2}{3}$

Задание 18

Повторение: прогрессии, движение, экстремумы и смеси.

Два автомобиля одновременно выехали навстречу друг другу из пунктов на расстоянии 180 км со скоростями 40 и 50 км/ч. Через сколько часов они встретятся?

Ответ и решение к заданию 18

1. Скорость сближения $40 + 50 = 90$ км/ч.

2. $t = \dfrac{180}{90} = 2$ ч.

Ответ: 2 ч

Задание 19

Вероятности выпуска годной детали двумя независимыми станками равны 0,96 и 0,95. Найдите вероятность того, что обе детали годные.

Ответ и решение к заданию 19

1. Требуются два независимых успеха.

2. $P = 0,96 \cdot 0,95 = 0,912$ .

Ответ: 0,912

Задание 20

Три независимые лампы включаются с вероятностью 0,9 каждая. Найдите вероятность того, что включатся все три.

Ответ и решение к заданию 20

1. Вероятность совместного включения равна произведению.

2. $P = 0,9^{3} = 0,729$ .

Ответ: 0,729

02. Средний уровень: задания 21-35

Задание 21

Честную монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что все четыре раза выпадет орёл.

Ответ и решение к заданию 21

1. Четыре независимых успеха имеют вероятность $\left( \dfrac{1}{2} \right)^{4}$ .

2. $P = \dfrac{1}{16}$ .

Ответ: $\dfrac{1}{16}$

Задание 22

Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что хотя бы один раз выпадет решка.

Ответ и решение к заданию 22

1. Противоположное событие - четыре орла.

2. $P\left( \text{ОООО} \right) = \dfrac{1}{16}$ .

3. $P\left( \text{хотя бы одна решка} \right) = 1 - \dfrac{1}{16} = \dfrac{15}{16}$ .

Ответ: $\dfrac{15}{16}$

Задание 23

Кубик бросают дважды. Найдите вероятность того, что ровно один раз выпадет 6.

Ответ и решение к заданию 23

1. Шестёрка, затем не шестёрка: $\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{5}{6} = \dfrac{5}{36}$ .

2. Не шестёрка, затем шестёрка: $\dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{36}$ .

3. $P = \dfrac{10}{36} = \dfrac{5}{18}$ .

Ответ: $\dfrac{5}{18}$

Задание 24

Монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз.

Ответ и решение к заданию 24

1. Положение единственного орла можно выбрать тремя способами.

2. Вероятность каждого пути равна $\left( \dfrac{1}{2} \right)^{3} = \dfrac{1}{8}$ .

3. $P = 3 \cdot \dfrac{1}{8} = \dfrac{3}{8}$ .

Ответ: $\dfrac{3}{8}$

Задание 25

Стрелок делает три независимых выстрела с вероятностью попадания 0,8. Найдите вероятность хотя бы одного попадания.

Ответ и решение к заданию 25

1. Вероятность промаха равна 0,2.

2. $P\left( \text{три промаха} \right) = 0,2^{3} = 0,008$ .

3. $P\left( \text{хотя бы одно попадание} \right) = 1 - 0,008 = 0,992$ .

Ответ: 0,992

Задание 26

Вероятность дождя в субботу равна 0,3, в воскресенье 0,4. В модели задачи события независимы. Найдите вероятность того, что ни в субботу, ни в воскресенье дождя не будет.

Ответ и решение к заданию 26

1. Вероятности отсутствия дождя равны 0,7 и 0,6.

2. $P = 0,7 \cdot 0,6 = 0,42$ .

Ответ: 0,42

Задание 27

Первый кандидат проходит собеседование с вероятностью 0,6, второй - с вероятностью 0,75; результаты независимы. Найдите вероятность того, что пройдёт ровно один.

Ответ и решение к заданию 27

1. Пройдёт только первый: $0,6 \cdot 0,25 = 0,15$ .

2. Пройдёт только второй: $0,4 \cdot 0,75 = 0,30$ .

3. $P = 0,15 + 0,30 = 0,45$ .

Ответ: 0,45

Задание 28

Повторение: прогрессии, движение, экстремумы и смеси.

Найдите наименьшее значение функции $f(x) = x^{2} - 6x + 5$ .

Ответ и решение к заданию 28

1. $f(x) = (x - 3)^{2} - 4$ .

2. Квадрат неотрицателен, минимум равен −4 при $x = 3$ .

Ответ: −4

Задание 29

В коробке 5 красных и 3 синих шара. Выбирают два шара без возвращения. Найдите вероятность того, что оба шара красные.

Ответ и решение к заданию 29

1. $P\left( \text{первый красный} \right) = \dfrac{5}{8}$ .

2. После него красных 4 из 7: $P\left( \text{второй красный} \right) = \dfrac{4}{7}$ .

3. $P = \dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{4}{7} = \dfrac{20}{56} = \dfrac{5}{14}$ .

Ответ: $\dfrac{5}{14}$

Задание 30

В коробке 5 красных и 3 синих шара. Выбирают два шара без возвращения. Найдите вероятность шаров разных цветов.

Ответ и решение к заданию 30

1. $P\left( \text{К-С} \right) = \dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{3}{7} = \dfrac{15}{56}$ .

2. $P\left( \text{С-К} \right) = \dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{5}{7} = \dfrac{15}{56}$ .

3. $P = \dfrac{30}{56} = \dfrac{15}{28}$ .

Ответ: $\dfrac{15}{28}$

Задание 31

Среди 10 лотерейных билетов 4 выигрышных. Выбирают два билета без возвращения. Найдите вероятность того, что оба выигрышные.

Ответ и решение к заданию 31

1. $P = \dfrac{4}{10} \cdot \dfrac{3}{9}$ .

2. $P = \dfrac{12}{90} = \dfrac{2}{15}$ .

Ответ: $\dfrac{2}{15}$

Задание 32

В партии 8 годных и 2 бракованных изделия. Наугад выбирают два без возвращения. Найдите вероятность того, что хотя бы одно изделие бракованное.

Ответ и решение к заданию 32

1. Противоположное событие - оба изделия годные.

2. $P\left( \text{оба годные} \right) = \dfrac{8}{10} \cdot \dfrac{7}{9} = \dfrac{56}{90} = \dfrac{28}{45}$ .

3. $P\left( \text{хотя бы одно бракованное} \right) = 1 - \dfrac{28}{45} = \dfrac{17}{45}$ .

Ответ: $\dfrac{17}{45}$

Задание 33

Два кубика бросают одновременно. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 8.

Ответ и решение к заданию 33

1. Всего $6 \cdot 6 = 36$ равновозможных упорядоченных исходов.

2. Подходят (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2): 5 исходов.

3. $P = \dfrac{5}{36}$ .

Ответ: $\dfrac{5}{36}$

Задание 34

Повторение: прогрессии, движение, экстремумы и смеси.

К 20 кг раствора с концентрацией соли $30\%$ добавили 5 кг воды. Найдите новую концентрацию соли.

Ответ и решение к заданию 34

1. Масса соли $20 \cdot 0,30 = 6$ кг.

2. Новая масса раствора $20 + 5 = 25$ кг.

3. Концентрация $\dfrac{6}{25} = 0,24 = 24\%$ .

Ответ: $24\%$

Задание 35

События A и B независимы, $P(A) = 0,4$ , $P(B) = 0,5$ . Найдите $P\left( A\text{ или }B \right)$ .

Ответ и решение к заданию 35

1. $P\left( A\text{ и }B \right) = 0,4 \cdot 0,5 = 0,2$ .

2. $P\left( A\text{ или }B \right) = 0,4 + 0,5 - 0,2 = 0,7$ .

Ответ: 0,7

03. Повышенный уровень: задания 36-40

Задание 36

Стрелок делает три независимых выстрела с вероятностью попадания 0,8. Найдите вероятность ровно двух попаданий.

Ответ и решение к заданию 36

1. Положение единственного промаха выбирается тремя способами.

2. $P = 3 \cdot 0,8^{2} \cdot 0,2 = 3 \cdot 0,64 \cdot 0,2 = 0,384$ .

Ответ: 0,384

Задание 37

Игрок выполняет три независимые попытки с вероятностью успеха 0,6. Найдите вероятность не менее двух успехов.

Ответ и решение к заданию 37

1. Ровно два успеха: $3 \cdot 0,6^{2} \cdot 0,4 = 0,432$ .

2. Три успеха: $0,6^{3} = 0,216$ .

3. $P = 0,432 + 0,216 = 0,648$ .

Ответ: 0,648

Задание 38

В мешке 6 белых и 4 чёрных шара. Без возвращения выбирают три шара. Найдите вероятность того, что все три белые.

Ответ и решение к заданию 38

1. $P = \dfrac{6}{10} \cdot \dfrac{5}{9} \cdot \dfrac{4}{8}$ .

2. Сокращаем: $P = \dfrac{120}{720} = \dfrac{1}{6}$ .

Ответ: $\dfrac{1}{6}$

Задание 39

В мешке 6 белых и 4 чёрных шара. Одновременно выбирают три шара. Найдите вероятность того, что ровно два из них белые.

Ответ и решение к заданию 39

1. Всего наборов $C(10,3) = 120$ .

2. Благоприятных наборов $C(6,2) \cdot C(4,1) = 15 \cdot 4 = 60$ .

3. $P = \dfrac{60}{120} = \dfrac{1}{2}$ .

Ответ: $\dfrac{1}{2}$

Задание 40

Три независимых датчика срабатывают с вероятностями 0,9, 0,8 и 0,7. Система подаёт сигнал, если сработали хотя бы два датчика. Найдите вероятность сигнала.

Ответ и решение к заданию 40

1. Сработали первые два, третий нет: $0,9 \cdot 0,8 \cdot 0,3 = 0,216$ .

2. Сработали первый и третий: $0,9 \cdot 0,2 \cdot 0,7 = 0,126$ .

3. Сработали второй и третий: $0,1 \cdot 0,8 \cdot 0,7 = 0,056$ .

4. Сработали все три: $0,9 \cdot 0,8 \cdot 0,7 = 0,504$ .

5. $P = 0,216 + 0,126 + 0,056 + 0,504 = 0,902$ .

Ответ: 0,902

Вернуться к теории и разобранным примерам